２で割ることができない２つの整数の積は２で割ることができません．３で割ることができない２つの整数の積は３で割ることができません．この議論は５でも適用され，５で割ることができない２つの整数の積は５で割ることができません．しかし，６ではこの議論は適用できず，検証すべき場合分けが増えていきます．それでもこの議論を続けていけば√５，√６，√７，・・・も無理数であることを確認できるのですが，一般的にｎが平方数でなければ√ｎは無理数であることを証明するには不十分です．そこで，以下のようにすれば，古代から知られ高校の教科書に載っているものとあまり変わりなく，しかし，異なった味あいがする証明になります．

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【４】ｎが平方数でなければ√ｎは無理数である

(証)　√ｎが有理数であるとし，√ｎ＝ｐ／ｑとおくと，

　　ｐ^2＝ｎｑ^2

が成り立つ．素因数分解ｐ＝ｐ1ｐ2・・・ｐr，ｑ＝ｑ1ｑ2・・・ｑs，ｎ＝ｎ1^i1ｎ2^i2・・・ｎk^ik　　（ｐ1≦・・・≦ｐr，ｑ1≦・・・≦ｑs，ｎ1＜・・・＜ｎk）を代入すれば

　　ｐ1^2ｐ2^2・・・ｐr^2＝ｎ1^i1ｎ2^i2・・・ｎk^ikｑ1^2ｑ2^2・・・ｑs^2

　ｎは平方数ではないから，ｉ1，・・・，ｉkのうち少なくともひとつは奇数，そこでｉlが奇数であるとする．しかし，ｐ1^2ｐ2^2・・・ｐr^2とｑ1^2ｑ2^2・・・ｑs^2に現れるｎlの個数は０または偶数であるから，素因数分解の一意性に矛盾する．

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