【２】√２は無理数である

√２が無理数であることは，ギリシャ数学のなかでも有名な定理ですが，背理法を用いたその証明はだれしもが容易に理解できるものです．

（証）√２が２つの互いに素な整数の比ｐ／ｑで表されるとすると，√２＝ｐ／ｑすなわちｐ^2＝２ｑ^2．したがって，ｐは偶数であり，ｐ＝２ｒという形に表すことができる．代入して２で割ると

　　２ｒ^2＝ｑ^2

が得られるが，ｑが偶数となって互いに素という仮定に反する．

√２は１辺の長さ１の正方形の対角線の長さであるがゆえに，ピタゴラス学派によって発見された歴史上初めての無理数となったのですが，ピタゴラス学派は宇宙の万物は究極的に「整数」とそれから派生する「分数」によって表せると信じていましたから，√２が分数では表せない「無理数」であることを知ったとき，√２を奇怪な化け物だと考えて，その存在を隠し通そうとしました．これはピタゴラス学派を揺るがせることになる衝撃だったのです．

　言い伝えによれば，ピタゴラスはこの発見に恐怖を抱き，無理数を発見した弟子のピッパソスを小舟に載せて連れ出して溺死させてしまったという「エーゲ海殺人事件」が起きたという伝説もあるほどです．

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【３】√３は無理数である

　　√３が無理数であることも同様に証明できます．

（証）ｐ，ｑを３で割り切れない２つの整数で，√３＝ｐ／ｑすなわちｐ^2＝３ｑ^2と仮定する．ｐは３で割り切れるから，ｐ＝３ｒという形に表すことができる．代入して３で割ると

　　３ｒ^2＝ｑ^2

が得られるが，ｑが３で割り切れることになり矛盾．

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