ところで，

　　５６１＝３・１１・１７

　　１１０５＝５・１３・１７

　　１７２９＝７・１３・１９

　　２４６５＝５・１７・２９

　　２８２１＝７・１３・３１

　　６６０１＝７・２３・４１

　　８９１１＝７・１９・６７

　　１０５８５＝５・２９・７３です

から，カーマイケル数は少なくとも３つの素因数をもつ．

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［Ｑ］カーマイケル数は少なくとも３つの素因数をもつことを証明せよ

（証明）

　ｐ1，ｐ2は奇素数で，ｐ1＜ｐ2とする．ｎ＝ｐ1ｐ2がカーマイケル数であると仮定すると

［１］ｐ1ｐ2≠０　　（ｍｏｄｐ1^2）

［２］ｐ1ｐ2≠０　　（ｍｏｄｐ2^2）

［３］ｐ1ｐ2＝１　　（ｍｏｄｐ1−１）

［４］ｐ1ｐ2＝１　　（ｍｏｄｐ2−１）

が成り立たなければならない．

　　１＜ｐ1−１＜ｐ2−１

　　ｐ1ｐ2−１＝ｐ1（ｐ2−１）＋ｐ1−１

より，

　　ｐ1ｐ2−１＝ｐ1−１　　（ｍｏｄｐ2−１）

　これは

　　［４］ｐ1ｐ2−１＝０　　（ｍｏｄｐ2−１）

に矛盾．したがって，カーマイケル数は素因数を２つだけもつことはない．→カーマイケル数は少なくとも３つの素因数をもつ．

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【３】カーマイケル数８９１１

８９１１＝７・１９・６７はカーマイケル数で，底を２〜ａに取り替えても一切反応しません．

(証明)

　ａ^6＝１　（ｍｏｄ７）

　ａ^18＝１　（ｍｏｄ１９）

　ａ^66＝１　（ｍｏｄ６７）

より，

　ａ^8910＝（ａ^6）^1485＝１　（ｍｏｄ７）

　ａ^8910＝（ａ^18）^495＝１　（ｍｏｄ１９）

　ａ^8910＝（ａ^66）^135＝１　（ｍｏｄ６７）

　つまり

　　ａ^8910＝１　（ｍｏｄ８９１１）

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【４】カーマイケル数は無数にある

最小のカーマイケル数は５６１＝３・１１・１７であるが，以下，

　　１１０５，１７２９，２４６５，２８２１，６６０１，８９１１，１０５８５，・・・

と続く．カーマイケル数が無限にあるのか否かは長く不明であったが，１９９４年，アールフォルス，グランヴィル，ポメランスは十分大なるｘについて＞ｘ^2/7であることを示し，無限に存在することが証明されている．

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