（Ｑ）Ｆ0＝３，Ｆ1＝５を除けば，フェルマー数Ｆnの末位の数は７であることを証明せよ．

（Ａ）ｎ≧２に関する数学的帰納法で

　　２^(2^n)＝６　　（ｍｏｄ１０）

を示せばよい．ｎ＝２のとき

　　２^(2^2)＝１６＝６　　（ｍｏｄ１０）

ｎ＝ｋのとき２^(2^k)＝６　　（ｍｏｄ１０）であるとすれば，ｎ＝ｋ＋１のとき，

　　２^(2^k+1)＝３６＝６　　（ｍｏｄ１０）

を得る．

　なお，

　　Ｆ1＝５

　　Ｆn＝Ｆ0Ｆ1・・・Ｆn-1＋２＝（５の奇数倍）＋２

を用いれば，Ｆnの末位は７になることがわかる．

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（Q）F73の最後の２桁は９７である

（Ａ）

　Ｆ3 　Ｆ4 　Ｆ5 　Ｆ6 　Ｆ7

　５６→３６→９６→１６→５６

と周期４で巡回するから，

　Ｆ71　Ｆ72 　Ｆ73　Ｆ74　Ｆ75

　５６→３６→９６→１６→５６

Ｆ73＝２^(2^73)＋１の最後の２桁は９７であることがわかる．

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（Q）Ｆ73の最後の３桁は８９７である

（Ａ）

Ｆ3 　　Ｆ4 　　Ｆ5 　　Ｆ6 　　Ｆ7

　２５６→５３６→２９６→６１６→４５６→９３６→０９６→２１６→６５６→３３６→８９６→８１６→８５６→７３６→６９６→４１６→０５６→１３６→４９６→０１６→２５６

と周期２０で巡回するから，

　Ｆ63　　Ｆ64　　Ｆ65　　Ｆ66　　Ｆ67

　２５６→５３６→２９６→６１６→４５６

　Ｆ68　　Ｆ69　　Ｆ70　　Ｆ71　　Ｆ72　　Ｆ73

　９３６→０９６→２１６→６５６→３３６→８９７

Ｆ73＝２^(2^73)＋１の最後の３桁は８９７であることがわかる．

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