■フェルマー数(その2)

【1】フェルマー数の素数性判定

 命題:pがフェルマー数の約数ならば

  p=1  (mod2^n+1)

である

を用いることにする.

[1]F4=65537    (素数)

 p≦√65537=256.0・・・までの素数がF4の素因数でないことを示す.命題よりp=1 (mod2^5)は奇数であることを考慮すると,p=32n+1型と書けるので,

  p=33,65,97,129,161,193,225

が候補となる.33,65,129,161,225は素数でなく,97,193は65537の約数でない.

[2]F5=4294967297(非素数)  p≦√4294967297=65536.0・・・ 素因数となりうるのは p=64n+1型と書ける.素数であるのは

  p=193,257,449,577,641,769

であるが,このうち,641がF5の約数になっている.

  k=1→64+1(非素数)

  k=2→128+1(非素数)

  k=3→192+1(素数)

  k=4→256+1(素数)

  k=5→320+1(非素数)

  k=6→384+1(非素数)

  k=7→448+1(素数)

  k=8→512+1(非素数)

  k=9→576+1(素数)

  k=10→640+1(素数)→F5 =641×6700417

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