パロディを一席・・・医者の藤佐(ふじさ)が数学者・山秋（やまあき）に会いに行ったとき，タクシーナンバーが１１０５という何の変哲もない数であったと彼に伝えたところ，山秋は１１０５は２つの２乗数で４通りに表せる最小の数だと答えたという．

たしかに

　　　１１０５＝４^2＋３３^2＝１２^2＋３１^2

　　　　　　　＝２４^2＋２３^2＝３２^2＋９^2

と書き表すことができるが，どうすればそんなことに気づくことができるのだろうか？　

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【１】フィボナッチの等式

フィボナッチの等式としてよく知られている恒等式

（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａｃ−ｂｄ）^2＋（ａｄ＋ｂｃ）^2

（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａｃ＋ｂｄ）^2＋（ａｄ−ｂｃ）^2

が正しいことは簡単に確認できます．

このことは

［１］ｘ^2＋ｙ^2型整数の積は，再びｘ^2＋ｙ^2型整数として表すことができること，また，

［２］この積は２通りの異なる方法で，２つの平方数の和として表すことができることを示しています（ａ＝ｂまたはｃ＝ｄのときは，積はたった１通りの方法で２つの平方数の和になります）．

　たとえば，５と１３はいずれも４ｎ＋１型素数で，２つの平方数の和として表されますから，

　　６５＝５・１３

５＝１^2＋２^2，１３＝２^2＋３^2

　　６５＝（１・２＋２・３）^2＋（１・３−２・２）^2＝８^2＋１^2

　　６５＝（１・２−２・３）^2＋（１・３＋２・２）^2＝４^2＋７^2

となります．

　　１１０５＝５・１３・１７

は４ｎ＋１型素数のはじめの３素数の積です．このことから，１１０５は２つの平方数の和で４通りに表せることになるのです．

　　１１０５＝（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）（ｅ^2＋ｆ^2）

　　１７＝１^2＋４^2

　　１１０５＝（８^2＋１^2）（１^2＋４^2）＝４^2＋３３^2＝１２^2＋３１^2

　　１１０５＝（４^2＋７^2）（１^2＋４^2）＝２４^2＋２３^2＝３２^2＋９^2

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【２】カーマイケル数１１０５

１１０５は２つの平方数の和で４通りに表すことができる数で，カーマイケル数でもあります．

　　１１０５＝５・１３・１７

　　ａ^4＝１　（ｍｏｄ５）

　　ａ^12＝１　（ｍｏｄ１３）

　　ａ^16＝１　（ｍｏｄ１７）

より，

　　ａ^1104＝（ａ^4）^276＝１　（ｍｏｄ５）

　　ａ^1104＝（ａ^12）^92＝１　（ｍｏｄ１３）

　　ａ^1104＝（ａ^16）^69＝１　（ｍｏｄ１７）

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