【３】アイゼンシュタインの整数環（３）

３平方和問題

　　（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）＝ｕ^2＋ｖ^2＋ｗ^2

は２平方和，４平方和の場合のようなわけにはいきません．３平方和の積が必ずしも３平方和とならないからです．しかし，

（ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2）（ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2）＝ｕ^2＋ｕｖ＋ｖ^2

を示すことはできます．

［証明］１の３乗根をωとする．　１＋ω＋ω^2＝０

ａ^2＋ａｂ＋ｂ2＝（ａ−ｂω）（ａ−ｂω^2）

ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ2＝（ｘ−ｙω）（ｘ−ｙω^2）

ｕ＝ａｘ−ｂｙ，

ｖ＝ａｙ＋ｂｘ＋ｂｙ，

とおくと

　　（ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2）（ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2）＝ｕ^2＋ｕｖ＋ｖ^2

が成り立つ．

　同様に，

　　（ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ）（ｘ^3＋ｙ^3＋ｚ^3−３ｘｙｚ）＝ｕ^3＋ｖ^3＋ｗ^3−３ｕｖｗ

を示すことができます．

[証明]１の３乗根をωとする．　１＋ω＋ω^2＝０

ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂω＋ｃω^2）（ａ＋ｂω^2＋ｃω）

ｘ^3＋ｙ^3＋ｚ^3−３ｘｙｚ＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）（ｘ＋ｙω＋ｚω^2）（ｘ＋ｙω^2＋ｚω）

ｕ＝ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ，

ｖ＝ａｚ＋ｂｘ＋ｃｙ，

ｗ＝ａｙ＋ｂｚ＋ｃｘ

とおくと

　　（ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ）（ｘ^3＋ｙ^3＋ｚ^3−３ｘｙｚ）＝ｕ^3＋ｖ^3＋ｗ^3−３ｕｖｗ

が成り立つ．

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