【２】フレニクル

ところで，１７２９のこの性質は１７世紀にフレニクルがすでに見つけていた．フレニクルは１２^3＋１^3＝１０^3＋９^3のほかにも

　　９^3＋１５^3＝２^3＋１６^3

　　１５^3＋３３^3＝２^3＋３４^3

　　１６^3＋３３^3＝９^3＋３４^3

　　１９^3＋２４^3＝１０^3＋２７^3

を見つけている．

　　１９^3＋２４^3＝１０^3＋２７^3

を除き，連続する整数が１組ずつある．また，負の数を使ってよければ

　　９１＝４^3＋３^3＝６^3＋（−５）^3

７２８＝６^3＋８^3＝９^3＋（−１）^3

もあるが，これにも連続する整数が１組ある・・・．

おそらくフレニクルは，ａ^3＋ｂ^3＝ｃ^3＋ｄ^3を解くために，

［１］２パラメータ恒等式

（７ａ^4−１１ａｂ^3）^3＋（７ｂ^4−２ａ^3ｂ）^3＝（７ｂ^4−１１ａ^3ｂ）^3＋（７ａ^4−２ａｂ^3）^3

［２］１パラメータ恒等式

（９ｎ^4）^3＋（９ｎ^3＋１）^3＝（９ｎ^4＋３ｎ）^3＋１

　ｎ＝１のとき，９^3＋１０^3＝１２^3＋１

　ｎ＝−１のとき，９^3＋（−８）^3＝６^3＋１＝２１７

が見つけたのだろう．

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