【６】ガウスの定理

　ガウスは１７９６年の日記に「わかった！　ｎ＝△＋△＋△」と書いていますが，それはすべての整数は３つの３角数の和によって表しうるという意味です．

ガウスの発見は８ｎ＋３の形をしたすべての整数を３つの奇数の平方の和として表せることを意味していて，３平方和定理「８ｎ＋７の形の素数は３つの平方数の和では表せない」を用いるとｎ＝△＋△＋△を簡単に示すことができます．

（証明）

４^k（８ｎ＋７）でない奇数は３平方和で表せますから，任意の自然数ｎに対して８ｎ＋３＝ｘ2 ＋ｙ2 ＋ｚ2 と書けます．このとき，ｘ＝２ｏ＋１，ｙ＝２ｐ＋１，ｚ＝２ｑ＋１とおくとｎ＝ｏ（ｏ＋１）／２＋ｐ（ｐ＋１）／２＋ｑ（ｑ＋１）／２

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【７】多角数和定理

　１から始まる等差数列の最初のｎ項を足すと，いろいろな多角数が得られます．

［１］１＋１＋１＋１＋１＋・・・からは自然数１，２，３，４，５，・・・が得られる

［２］１＋２＋３＋４＋５＋・・・からは三角数１，３，６，１０，１５，・・・が得られる

［３］１＋３＋５＋７＋１１＋・・・からは四角数１，４，９，１６，２５，・・・が得られる

［４］１＋４＋７＋１０＋１３＋・・・からは五角数１，５，１２，２２，３５，・・・が得られる

［５］１＋５＋９＋１３＋１７＋・・・からは六角数１，６，１５，２８，４５，・・・が得られる

　１／２・ｎ・｛２＋（ｍ−２）（ｎ−１）｝

の形の自然数をｍ角数といいます．三角数とはｎ（ｎ＋１）／２，四角数とはｎ^2 の形の自然数，すなわち平方数です．

「すべての自然数はたかだかｍ個のｍ角数で表せる」

というのが多角数定理ですが，ｍ＝３の場合がガウスの定理「ｎ＝△＋△＋△」，ｍ＝４の場合がラグランジュの定理「ｎ＝□＋□＋□＋□」に相当します．

フェルマーが遺して後世を悩ましていたこの命題は，オイラー，ラグランジュ，ルジャンドルなどの研究を経て，１８１３年，コーシーが証明しセンセーションを巻き起こしました．

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