【２】ルジャンドルの４平方和定理

ラグランジュの４平方和定理に引き続き，ルジャンドルの４平方和定理とは，

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｍｗ^2　　　（ｍ＝１，２，３，４，５，６，７）

はすべての正の整数を表現することができるというものです．ｍ＝１の場合がラグランジュの４平方和定理です．

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【３】ラマヌジャンの４平方和定理

ラグランジュの定理では，どんな自然数でも

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2

の形に書けること，ルジャンドルの定理ではどんな自然数でも

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｍｗ^2　　（ｍ＝１，２，３，４，５，６，７）

の形に書けることを主張していますが，４変数２次形式では，たとえば，

　　２ｗ^2＋３ｘ^2＋４ｙ^2＋５ｚ^2

は１だけを表すことができないこと，

　　ｗ^2＋２ｘ^2＋５ｙ^2＋５ｚ^2

は１５だけを表すことができないことがわかっています．

それでは，どんな自然数が

　　Ａｘ^2＋Ｂｙ^2＋Ｃｚ^2＋Ｄｗ^2

の形で書け，すべての整数がＡｘ^2＋Ｂｙ^2＋Ｃｚ^2＋Ｄｗ^2の形に表せるのでしょうか？　これには，５４通りの組み合わせしかないことが知られています．（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝（１，１，１，１），（１，１，１，２），（１，１，１，３），（１，１，１，４），（１，１，１，５），（１，１，１，６），（１，１，１，７），（１，１，２，２），（１，１，２，３），（１，１，２，４），（１，１，２，５），（１，１，２，６）．（１，１，２，７），（１，１，２，８），（１，１，２，９），（１，１，２，１０），（１，１，２，１１），（１，１，２，１２），（１，１，２，１３），（１，１，２，１４），（１，１，３，３），（１，１，３，４），（１，１，３，５），（１，１，３，６），（１，２，２，２），（１，２，２，３），（１，２，２，４），（１，２，２，５），（１，２，２，６），（１，２，２，７），（１，２，３，３），（１，２，３，４），（１，２，３，５），（１，２，３，６），（１，２，３，７），（１，２，３，８），（１，２，３，９），（１，２，３，１０），（１，２，４，４），（１，２，４，５），（１，２，４，６），（１，２，４，７），（１，２，４，８），（１，２，４，９），（１，１，２，９），（１，２，４，１０），（１，２，４，１１），（１，２，４，１２），（１，２，４，１３），（１，２，４，１４），（１，２，５，６），（１，２，５，７），（１，２，５，８），（１，２，５，９），（１，２，５，１０）

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【４】ラグランジュの定理とラマヌジャンのリストの間に

ラマヌジャンのリストを鑑賞してみましょう．ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2からｘ^2＋２ｙ^2＋５ｚ^2＋１０ｗ^2まで，すべて

Ａｘ^2＋Ｂｙ^2＋Ｃｚ^2＋Ｄｗ^2　　（Ａ≦Ｂ≦Ｃ≦Ｄ）

の形をしていて，５４通りあります．４変数２次形式では，どんな自然数でも

　　ｘ^2＋２ｙ^2＋３ｚ^2＋４ｗ^2

の形で書けるというわけです．

容易にわかるようにＡ＝１でなければなりません．たとえば，２ｗ^2＋３ｘ^2＋４ｙ^2＋５ｚ^2は１だけを表すことができません．そこで，Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝１から始めると，答えはＤ＝１，２，３，４，５，６，７になるのですが，それがルジャンドルの４平方和定理です．つまり，ラグランジュ・ルジャンドルの定理はラマヌジャンの定理に内包されているのです．

このリストは２０世紀初頭，ラマヌジャンによってコンピュータの助けなしに特定されました．（１，２，５，５）はラマヌジャンのリストには載っていませんが，当初は不備があって（１，２，５，５）も含められてしまったとのことです．ｗ^2＋２ｘ^2＋５ｙ^2＋５ｚ^2は１５をそして１５だけを表すことができないのです．

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