このような数値実験からいくつかのことが予想され，肯定的に証明されています．

［１］フェルマーの定理（２平方和定理）

　特別な素数である２を除外して，素数は４で割ると余りが１になるもの（５，１３，１７，２９，３７，４１，・・・）と３になるもの（３，７，１１，１９，２３，３１，・・・）の２種類に分けられます．

このうち，４ｎ＋１の形の素数は２つの整数の平方の和として表されます．たとえば，５＝１^2＋２^2，１３＝２^2＋３^2，１７＝１^2＋４^2，２９＝２^2＋５^2

しかし，４ｎ＋３の形の素数は１つもこのようには表せないのです．この定理はフェルマーの定理と呼ばれ，フェルマーは無限降下法でこれを証明しました．しかし，その証明は不十分で，１００年後のオイラーによって完全な証明がなされています．

２平方和定理は「４で割ると１余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2となる自然数が存在する」でしたが，フェルマーは，

「ｐが８で割ると１または３余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋２ｙ^2」

「ｐが８で割ると１または７余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2−２ｙ^2」

「ｐが３で割ると１余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋３ｙ^2」

となる自然数ｘ，ｙが存在することも発見しています．

［２］ルジャンドルの定理（３平方和定理）

　４ｎ＋３の形の素数は２個の平方数の和で表せませんが，同様に，

「８ｎ＋７の形の素数は３個の平方数の和では表されない」

普遍的な３変数２次形式は存在しないというわけです．

（証明）

［１］ｎ＝４ｋのとき，

　　ｎ^2＝１６ｋ^2→　ｎ＝０　（ｍｏｄ８）

［２］ｎ＝４ｋ＋１のとき，

　　ｎ^2＝１６ｋ^2＋８ｋ＋１→　ｎ＝１　（ｍｏｄ８）

［３］ｎ＝４ｋ＋２のとき，

　　ｎ^2＝１６ｋ^2＋１６ｋ＋４→　ｎ＝４　（ｍｏｄ８）

［４］ｎ＝４ｋ＋３のとき，

　　ｎ^2＝１６ｋ^2＋２４ｋ＋９→　ｎ＝１　（ｍｏｄ８）

平方数を８で割ると余りは０，１，４のいずれかになる．→３つの平方数の和を８で割ると余りは０，１，２，３，４，５，６のいずれかになる．→８ｎ＋７型の素数を表すには平方数が４つ以上必要になる．

　合成数も含めれば，３つの平方数の和として書くことができない数としては

　　７，１５，２３，２８，３０，・・・

があります．１７９８年に，ルジャンドルは４^k（８ｎ＋７）型ではない整数だけが３つの平方数の和として必ず表せることを発見しました．４^k（８ｎ＋７）型の整数は，すべての整数のうちの１／６を占めます．

　　１／８・（１＋１／４＋１／１６＋・・・）

＝１／８・１／（１−１／４）＝１／６

これらはちょうど４つの平方数の和となり，それ以外は高々３つの平方数の和で表され，そのような数の割合は５／６であるというわけです．

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