調和級数（自然数の逆数の和）が発散することはよく知られています．

　　１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・→∞

それどころか，素数の逆数の和だけでさえ発散するのです．

　　１／２＋１／３＋１／５＋１／７＋１／１１＋・・・→∞

それに対して，平方数の逆数和

１／１2 ＋１／２2 ＋１／３2 ＋１／４2 ＋・・・＝π2 ／６

は収束しますから，整数の平方

　　０，１，４，９，１６，２５，・・・

は素数よりもまばらに分布していることがわかります．たとえば，１００以下の素数は２５個，１０１から２００までの素数は２１個ありますが，１００以下の平方数は１１個，１０１から２００までの平方数は４個しかありません．

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【１】整数の平方和分解

ここでは，整数Nを（０も含め）いくつかの平方数の和の形式で表現することを考えます．まず，簡単な数値実験から始めることにしましょう．１から１０までの整数をいくつかの平方数の和の形式で表現するというものです．

　平方数はまばらにしか存在しませんが，２つの平方数の和の形で表される整数はより頻繁に現れます．

　　１＝１^2＋０^2

　　２＝１^2＋１^2

　　４＝２^2＋０^2

　　５＝２^2＋１^2

　　８＝２^2＋２^2

　　９＝３^2＋０^2

　１０＝３^2＋１^2

　ここで，３，６，７といった整数は，２つの平方の和では書けないことがわかります．しかし，３つの平方和となると幾分間隙を埋めてくれます．

　　３＝１^2＋１^2＋１^2

　　６＝２^2＋１^2＋１^2

　それでもなお，すべての正の整数を得ることはできません．最後まで残った７に対しては３つの平方数の和で書けず，４つの平方数が必要となります．

　　７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2

このような数値実験からいくつかのことが予想され，肯定的に証明されています．

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