関数ｆ（ｘ）＝ｘ^（ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^・・・）は区間［ｅｘｐ（−ｅ），ｅｘｐ（１／ｅ）］で定義されることをオイラーが示した．

ｅｘｐ（−ｅ）＝０．０６５９８８０３５８４・・・＜１

ｅｘｐ（１／ｅ）＝１．４４４６６７８６１００＞√２＞１

　したがって，

　ｘ^（ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^・・・）＝３はｘ^2＝３と書き変えることができない．

　x≦ｅｘｐ（１／ｅ）に対して

　　ｘ^m＝ｍ，ｍｌｏｇｘ＝ｌｏｇｍ

　したがって，最大値ｍは

ｘ＝ｅｘｐ（１／ｅ）より，ｍ／ｅ＝ｌｏｇｍを満たすｍということになる．

数値計算ではｍ＝2.72〜ｅとなった。したがって、ｍ＝ｅである。

　一方，最小値ｍはｘ>ｅｘｐ（−ｅ）に対して

ｘ＝ｅｘｐ（−ｅ）のときではないと思われるが、そのときであれば，−ｍｅ＝ｌｏｇｍを満たすｍではないと思われるが・・・

数値計算ではｍ＝0.367879=1/eとなった。

仮にx=1/e＝0.367879のときとすると、-ｍ＝ｌｏｇｍ、ｍ＝0.567143となるから、

値域は[１／ｅ,ｅ]と考えられる。

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