等周問題とは、周長一定の平面図形の中で、面積が最大のものは円であるというものである。フルヴィッツの証明はフーリエ級数を用いるものであった。

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周長をＬ

x=f(s),y=g(s)とする。0<=s<=L

(dx/ds)^2+(dy/ds)^2=1

t=2πs/Lと変数変換すると

(dx/dt)^2+(dy/dt)^2=(L/2π)^2

面積はS=integral(0,2π)y・dx/dt・dt

2(L/2π)^2=1/πintegral{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}dt

ここでフーリエ級数に展開すると

x=x(t)=a0/2+Σ(ancosnt+bnsinnt)

y=y(t)=c0/2+Σ(cncosnt+dnsinnt)

S/π=Σn(bncn-andn)

2(L/2π)^2=Σn^2(an^2+bn^2+cn^2+dn^2

よって

1/2π^2(L^2-4πS)=Σ{(nan+dn)^2+(nbn-cn)^2+(n^2-1)(cn^2+dn^2)}>=0

L^2>=4πS

等号が成り立つのはnan=-dn,nbn=cn,cn=0,dn=0

つまり、

a0,c0,a1=-d1,b1=c1のほかはすべて0

x=a0+a1cost+b1sint

y=c0++b1cost-a1sint

これは(a0,c0)を中心とする円の方程式である。

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