答えを先にいうと　　Σ1/(2n,n)={2π√3+9}/27

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　　Σ1/(2n,n)=1/2*2Ｆ1(1,2;3/2;1/4)

となるが，参考文献「電子通信工学のための特殊関数とその応用」には

　　2Ｆ1(1,1;3/2;x^2)=arcsin(x)/x√(1-x^2)

は収録されているものの，2Ｆ1(1,2;3/2;x^2)は見あたらない．

　そこで，その正体を探るために，３項漸化式

　　(a-b)(1-x)2Ｆ1(a,b;c;x)+(c-a)2Ｆ1(a-1,b;c;x)+(b-c)2Ｆ1(a,b-1;c;x)=0

において，a=2,b=1,c=3/2とおくと，

　　2F1(1,2;3/2;x)=1/2(1-x){2F1(1,1:3/2;x)+2F1(2,0;3/2;x)}

ここで，2F1(1,1:3/2;x^2)は既知，また，2F1(2,0;3/2;x^2)は定数関数１であるから，

　　2F1(1,2;3/2;x^2)=1/2(1-x^2){arcsin(x)/x√(1-x^2)+1}

となる．

　x=1/2を代入することによって

　　Σ1/(2n,n)={2π√3+9}/27

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