デルトイドの平行曲線は定幅曲線であることが証明できた。

その原因は、2種類ある平行曲線から適切なペアを選んでいなかったことによるものであった。．

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【１】デルトイドの平行曲線

　デルトイド

　　ξ＝ａ（２ｃｏｓθ＋ｃｏｓ２θ）＝２ａｃｏｓθ（１＋ｃｏｓθ）−ａ

　　η＝ａ（２ｓｉｎθ−ｓｉｎ２θ）＝２ａｓｉｎθ（１−ｃｏｓθ）

において，

　　ｄε／ｄθ＝−ａ（２ｓｉｎθ＋２ｓｉｎ２θ）＝−２ａｓｉｎθ（１＋２ｃｏｓθ）

　　ｄη／ｄθ＝ａ（２ｃｏｓθ−２ｃｏｓ２θ）＝２ａ（１−ｃｏｓθ）（１＋２ｃｏｓθ）

　　（ｄε／ｄθ）^2＋（ｄη／ｄθ）^2＝８ａ^2（１−ｃｏｓ３θ）＝８ａ^2（１＋２ｃｏｓθ）^2（１−ｃｏｓθ）＝１６ａ^2（１＋２ｃｏｓθ）^2ｓｉｎ^2（θ／２）

ですから，平行曲線は

　　ｘ＝２ａｃｏｓθ（１＋ｃｏｓθ）−ａ＋ｒｓｉｎ（θ／２）

　　ｙ＝２ａｓｉｎθ（１−ｃｏｓθ）＋ｒｃｏｓ（θ／２）

および

　　ｘ＝２ａｃｏｓθ（１＋ｃｏｓθ）−ａ−ｒｓｉｎ（θ／２）

　　ｙ＝２ａｓｉｎθ（１−ｃｏｓθ）−ｒｃｏｓ（θ／２）

のようになります．

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　　ｘ＝２ａｃｏｓθ（１＋ｃｏｓθ）−ａ＋ｒｓｉｎ（θ／２）

　　ｙ＝２ａｓｉｎθ（１−ｃｏｓθ）−ｒｃｏｓ（θ／２）

か

　　ｘ＝２ａｃｏｓθ（１＋ｃｏｓθ）−ａ−ｒｓｉｎ（θ／２）

　　ｙ＝２ａｓｉｎθ（１−ｃｏｓθ）＋ｒｃｏｓ（θ／２）

を選ぶべきであった。

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