■フルヴィッツ曲線(その52)

デルトイドの平行曲線は定幅曲線であることが証明できた。

その原因は、2種類ある平行曲線から適切なペアを選んでいなかったことによるものであった。.

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【1】デルトイドの平行曲線

 デルトイド

  ξ=a(2cosθ+cos2θ)=2acosθ(1+cosθ)-a

  η=a(2sinθ-sin2θ)=2asinθ(1-cosθ)

において,

  dε/dθ=-a(2sinθ+2sin2θ)=-2asinθ(1+2cosθ)

  dη/dθ=a(2cosθ-2cos2θ)=2a(1-cosθ)(1+2cosθ)

  (dε/dθ)^2+(dη/dθ)^2=8a^2(1-cos3θ)=8a^2(1+2cosθ)^2(1-cosθ)=16a^2(1+2cosθ)^2sin^2(θ/2)

ですから,平行曲線は

  x=2acosθ(1+cosθ)-a+rsin(θ/2)

  y=2asinθ(1-cosθ)+rcos(θ/2)

および

  x=2acosθ(1+cosθ)-a-rsin(θ/2)

  y=2asinθ(1-cosθ)-rcos(θ/2)

のようになります.

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  x=2acosθ(1+cosθ)-a+rsin(θ/2)

  y=2asinθ(1-cosθ)-rcos(θ/2)

  x=2acosθ(1+cosθ)-a-rsin(θ/2)

  y=2asinθ(1-cosθ)+rcos(θ/2)

を選ぶべきであった。

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