（その４７）をやり直し

　フルヴィッツ曲線を(x,y)で表すことにする．

　　ｘ＝（ｎ−2）aｃｏｓｎβ＋ｎaｃｏｓ（ｎ−2）β−2Rｓｉｎβ

　　ｙ＝-（ｎ−2）aｓｉｎｎβ+ｎaｓｉｎ（ｎ−2）β−2Rｃｏｓβ

で表すことにする．

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ｎ＝４を代入すると

　　ｘ＝2aｃｏｓ4β＋4aｃｏｓ2β−2Rｓｉｎβ

　　ｙ＝-2aｓｉｎ4β+4aｓｉｎ2β−2Rｃｏｓβ

　　ｘ＝2aｃｏｓ4β＋4aｃｏｓ2β

　　ｙ＝-2aｓｉｎ4β+4aｓｉｎ2β

はデルトイド

　　ｘ＝ｃｏｓ2t＋2ｃｏｓt

　　ｙ＝-ｓｉｎ2t+2ｓｉｎt

と同一で、デルトイドと円の混合と考えられる。(平行曲線？）

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一般にハイポサイクロイドは

　　ｘ＝ｃｏｓ(m-1)t＋(m-1)ｃｏｓt

　　ｙ＝-ｓｉｎ(m-1)t+(m-1)ｓｉｎt

と書くことができる。

ｎ/（ｎ-2）が整数比となるのは1+2/(n-2)より、ｎ=3,4のときに限られる。

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【２】接線極座標と内転形

　デルトイドの平行曲線の方程式を

　　ｘ＝ａ（２ｃｏｓθ＋ｃｏｓ２θ）-ｒｓｉｎ（θ／２）

　　ｙ＝ａ（２ｓｉｎθ−ｓｉｎ２θ）−ｒｃｏｓ（θ／２）

とおいて

　　ｘｓｉｎθ−ｙｃｏｓθ＝ｐ（θ）

に代入すると，包絡線の接線極座標における方程式は

　　ｐ（θ）＝ａｓｉｎ３θ+ｒｃｏｓ（３θ／２）

で与えられます．

　　ｐ（θ）＋ｐ（θ＋π）≠（一定）

です

そこで、

　　ｘ＝2aｃｏｓ4β＋4aｃｏｓ2β−2Rｓｉｎβ

　　ｙ＝-2aｓｉｎ4β+4aｓｉｎ2β−2Rｃｏｓβ

とおきなおして

　　ｘｓｉｎβ−ｙｃｏｓβ＝ｐ（β）

に代入すると

ｐ（β）=-2asin(3β)+4asin(β)+2Rcos(2β）

ｐ（β）＋ｐ（β＋π）≠（一定）

で変わりありません。

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平行曲線は2組あり

　　ｘ＝2aｃｏｓ4β＋4aｃｏｓ2β+2Rｓｉｎβ （+に変わっている）

　　ｙ＝-2aｓｉｎ4β+4aｓｉｎ2β−2Rｃｏｓβ

とおくことにします。

　　ｘｓｉｎβ−ｙｃｏｓβ＝ｐ（β）

に代入すると

ｐ（β）=-2asin(3β)+4asin(β)+2R

ｐ（β）＋ｐ（β＋π）=（一定）

から，デルトイドの平行曲線は定幅曲線である．

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