（その４６）をやり直し
フルヴィッツ曲線を(x,y)で表すことにする．
ｘ＝（ｎ－2）aｃｏｓｎβ＋ｎaｃｏｓ（ｎ－2）β－2Rｓｉｎβ
ｙ＝-（ｎ－2）aｓｉｎｎβ+ｎaｓｉｎ（ｎ－2）β－2Rｃｏｓβ
で表すことにする．
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ｎ＝４を代入すると
ｘ＝2aｃｏｓ4β＋4aｃｏｓ2β－2Rｓｉｎβ
ｙ＝-2aｓｉｎ4β+4aｓｉｎ2β－2Rｃｏｓβ
ｘ＝2aｃｏｓ4β＋4aｃｏｓ2β
ｙ＝-2aｓｉｎ4β+4aｓｉｎ2β
はデルトイド
ｘ＝ｃｏｓ2t＋2ｃｏｓt
ｙ＝-ｓｉｎ2t+2ｓｉｎt
と同一で、デルトイドと円の混合と考えられる。(平行曲線？）
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一般にハイポサイクロイドは
ｘ＝ｃｏｓ(m-1)t＋(m-1)ｃｏｓt
ｙ＝-ｓｉｎ(m-1)t+(m-1)ｓｉｎt
と書くことができる。
ｎ/（ｎ-2）が整数比となるのは1+2/(n-2)より、ｎ=3,4のときに限られる。
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円の接線極座標における方程式は
ｐ（θ）＝ａ0／２＋ａ1ｃｏｓθ＋ｂ1ｓｉｎθ
で与えられます．
ｐ（θ）＋ｐ（θ＋π）＝ａ0
ですから定幅曲線で，その曲率半径はａ0／２となります．
ルーローの三角形は定幅曲線ですが，ルーローの三角形の平行曲線もまた定幅曲線です．それではルーローの三角形ではなく，デルトイドの平行曲線は定幅曲線になるでしょうか？
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【１】デルトイドの平行曲線
デルトイド
ξ＝ａ（２ｃｏｓθ＋ｃｏｓ２θ）＝２ａｃｏｓθ（１＋ｃｏｓθ）－ａ
η＝ａ（２ｓｉｎθ－ｓｉｎ２θ）＝２ａｓｉｎθ（１－ｃｏｓθ）
において，
ｄε／ｄθ＝－ａ（２ｓｉｎθ＋２ｓｉｎ２θ）＝－２ａｓｉｎθ（１＋２ｃｏｓθ）
ｄη／ｄθ＝ａ（２ｃｏｓθ－２ｃｏｓ２θ）＝２ａ（１－ｃｏｓθ）（１＋２ｃｏｓθ）
（ｄε／ｄθ）^2＋（ｄη／ｄθ）^2＝８ａ^2（１－ｃｏｓ３θ）＝８ａ^2（１＋２ｃｏｓθ）^2（１－ｃｏｓθ）＝１６ａ^2（１＋２ｃｏｓθ）^2ｓｉｎ^2（θ／２）
ですから，平行曲線は
ｘ＝２ａｃｏｓθ（１＋ｃｏｓθ）－ａ＋ｒｓｉｎ（θ／２）
ｙ＝２ａｓｉｎθ（１－ｃｏｓθ）＋ｒｃｏｓ（θ／２）
および
ｘ＝２ａｃｏｓθ（１＋ｃｏｓθ）－ａ－ｒｓｉｎ（θ／２）
ｙ＝２ａｓｉｎθ（１－ｃｏｓθ）－ｒｃｏｓ（θ／２）
のようになります．
ｘ＝ａ（２ｃｏｓθ＋ｃｏｓ２θ）－ｒｓｉｎ（θ／２）
ｙ＝ａ（２ｓｉｎθ－ｓｉｎ２θ）－ｒｃｏｓ（θ／２）
はフルヴィッツ曲線
ｘ＝2aｃｏｓ4β＋4aｃｏｓ2β－2Rｓｉｎβ
ｙ＝-2aｓｉｎ4β+4aｓｉｎ2β－2Rｃｏｓβ
である。
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【補】平行曲線
中心の軌跡が（ξ（θ），η（θ））でパラメータ表示される半径ｒの円
（ｘ－ξ（θ））^2＋（ｙ－η（θ））^2＝ｒ^2
ｙ＝η（θ）±｛ｒ^2－（ｘ－ξ（θ））^2｝^(1/2)
の一部がドリルの円弧であるとき，
∂ｙ／∂θ＝０ → （ｘ－ξ（θ））ｄξ／ｄθ＋（ｙ－η（θ））ｄη／ｄθ＝０
これより，包絡線の方程式は
ｘ＝ξ（θ）＋ｒｄη／ｄθ／｛（ｄξ／ｄθ）^2＋（ｄη／ｄθ）^2｝^(1/2)
ｙ＝η（θ）－ｒｄξ／ｄθ／｛（ｄη／ｄθ）^2＋（ｄξ／ｄθ）^2｝^(1/2)
および
ｘ＝ξ（θ）－ｒｄη／ｄθ／｛（ｄξ／ｄθ）^2＋（ｄη／ｄθ）^2｝^(1/2)
ｙ＝η（θ）＋ｒｄξ／ｄθ／｛（ｄη／ｄθ）^2＋（ｄξ／ｄθ）^2｝^(1/2)
とパラメータ表示されます．
これは中心の軌跡（ξ，η）と直交する方向（法線方向）にｒだけ離れた２点の軌跡です．すなわち，中心の軌跡の平行曲線を描くというわけです．
例をあげると，楕円：ｘ^2／ａ^2＋ｙ^2／ｂ^2＝１
のパラメータ表示
ξ＝ａｃｏｓθ，η＝ｂｓｉｎθ
については
ｘ＝ａｃｏｓθ＋ｒｂｃｏｓθ／（ａ^2ｓｉｎ^2θ＋ｂ^2ｃｏｓ^2θ）^(1/2)
ｙ＝ｂｓｉｎθ＋ｒａｓｉｎθ／（ａ^2ｓｉｎ^2θ＋ｂ^2ｃｏｓ^2θ）^(1/2)
および
ｘ＝ａｃｏｓθ－ｒｂｃｏｓθ／（ａ^2ｓｉｎ^2θ＋ｂ^2ｃｏｓ^2θ）^(1/2)
ｙ＝ｂｓｉｎθ－ｒａｓｉｎθ／（ａ^2ｓｉｎ^2θ＋ｂ^2ｃｏｓ^2θ）^(1/2)
のようになります．
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