フルヴィッツ曲線を(x,y)で表すことにする．

　　ｘ＝（ｎ−2）aｃｏｓｎβ＋ｎaｃｏｓ（ｎ−2）β−2Rｓｉｎβ

　　ｙ＝-（ｎ−2）aｓｉｎｎβ+ｎaｓｉｎ（ｎ−2）β−2Rｃｏｓβ

で表すことにする．

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ｎ＝４を代入すると

　　ｘ＝2aｃｏｓ4β＋4aｃｏｓ2β−2Rｓｉｎβ

　　ｙ＝-2aｓｉｎ4β+4aｓｉｎ2β−2Rｃｏｓβ

　　ｘ＝2aｃｏｓ4β＋4aｃｏｓ2β

　　ｙ＝-2aｓｉｎ4β+4aｓｉｎ2β

はデルトイド

　　ｘ＝ｃｏｓ2t＋2ｃｏｓt

　　ｙ＝-ｓｉｎ2t+2ｓｉｎt

と同一で、デルトイドと円の混合と考えられる。(平行曲線？）

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一般にハイポサイクロイドは

　　ｘ＝ｃｏｓ(m-1)t＋(m-1)ｃｏｓt

　　ｙ＝-ｓｉｎ(m-1)t+(m-1)ｓｉｎt

と書くことができる。

ｎ/（ｎ-2）が整数比となるのは1+2/(n-2)より、ｎ=3,4のときに限られる。

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【２】接線極座標と内転形

　計算の都合上，デルトイドの平行曲線の方程式を

　　ｘ＝２ａｃｏｓθ（１＋ｃｏｓθ）−ａ＋ｒｓｉｎ（θ／２）

　　ｙ＝−２ａｓｉｎθ（１−ｃｏｓθ）−ｒｃｏｓ（θ／２）

とおいて

　　ｘｓｉｎθ−ｙｃｏｓθ＝ｐ（θ）

に代入すると，包絡線の接線極座標における方程式は

　　ｐ（θ）＝２ａｓｉｎ２θ−ａｓｉｎθ＋ｒｃｏｓ（θ／２）

で与えられます．

　　ｐ（θ）＋ｐ（θ＋π）≠（一定）

ですから，デルトイドの平行曲線は定幅曲線ではありません．

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