フルヴィッツ曲線を(x,y)で表すことにする．

　　ｘ＝（ｎ−2）aｃｏｓｎβ＋ｎaｃｏｓ（ｎ−2）β−2Rｓｉｎβ

　　ｙ＝-（ｎ−2）aｓｉｎｎβ+ｎaｓｉｎ（ｎ−2）β−2Rｃｏｓβ

で表すことにする．

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ｎ＝４を代入すると

　　ｘ＝2aｃｏｓ4β＋4aｃｏｓ2β−2Rｓｉｎβ

　　ｙ＝-2aｓｉｎ4β+4aｓｉｎ2β−2Rｃｏｓβ

　　ｘ＝2aｃｏｓ4β＋4aｃｏｓ2β

　　ｙ＝-2aｓｉｎ4β+4aｓｉｎ2β

はデルトイド

　　ｘ＝ｃｏｓ2t＋2ｃｏｓt

　　ｙ＝-ｓｉｎ2t+2ｓｉｎt

と同一で、デルトイドと円の混合と考えられる。(平行曲線？）

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一般にハイポサイクロイドは

　　ｘ＝ｃｏｓ(m-1)t＋(m-1)ｃｏｓt

　　ｙ＝-ｓｉｎ(m-1)t+(m-1)ｓｉｎt

と書くことができる。

ｎ/（ｎ-2）が整数比となるのは1+2/(n-2)より、ｎ=3,4のときに限られる。

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円の接線極座標における方程式は

　　ｐ（θ）＝ａ0／２＋ａ1ｃｏｓθ＋ｂ1ｓｉｎθ

で与えられます．

　　ｐ（θ）＋ｐ（θ＋π）＝ａ0

ですから定幅曲線で，その曲率半径はａ0／２となります．

　ルーローの三角形は定幅曲線ですが，ルーローの三角形の平行曲線もまた定幅曲線です．それではルーローの三角形ではなく，デルトイドの平行曲線は定幅曲線になるでしょうか？

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【１】デルトイドの平行曲線

　デルトイド

　　ξ＝ａ（２ｃｏｓθ＋ｃｏｓ２θ）＝２ａｃｏｓθ（１＋ｃｏｓθ）−ａ

　　η＝ａ（２ｓｉｎθ−ｓｉｎ２θ）＝２ａｓｉｎθ（１−ｃｏｓθ）

において，

　　ｄε／ｄθ＝−ａ（２ｓｉｎθ＋２ｓｉｎ２θ）＝−２ａｓｉｎθ（１＋２ｃｏｓθ）

　　ｄη／ｄθ＝ａ（２ｃｏｓθ−２ｃｏｓ２θ）＝２ａ（１−ｃｏｓθ）（１＋２ｃｏｓθ）

　　（ｄε／ｄθ）^2＋（ｄη／ｄθ）^2＝８ａ^2（１−ｃｏｓ３θ）＝８ａ^2（１＋２ｃｏｓθ）^2（１−ｃｏｓθ）＝１６ａ^2（１＋２ｃｏｓθ）^2ｓｉｎ^2（θ／２）

ですから，平行曲線は

　　ｘ＝２ａｃｏｓθ（１＋ｃｏｓθ）−ａ＋ｒｓｉｎ（θ／２）

　　ｙ＝２ａｓｉｎθ（１−ｃｏｓθ）＋ｒｃｏｓ（θ／２）

および

　　ｘ＝２ａｃｏｓθ（１＋ｃｏｓθ）−ａ−ｒｓｉｎ（θ／２）

　　ｙ＝２ａｓｉｎθ（１−ｃｏｓθ）−ｒｃｏｓ（θ／２）

のようになります．

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【補】平行曲線

　中心の軌跡が（ξ（θ），η（θ））でパラメータ表示される半径ｒの円

　　（ｘ−ξ（θ））^2＋（ｙ−η（θ））^2＝ｒ^2

　　ｙ＝η（θ）±｛ｒ^2−（ｘ−ξ（θ））^2｝^(1/2)

の一部がドリルの円弧であるとき，

　　∂ｙ／∂θ＝０　→　（ｘ−ξ（θ））ｄξ／ｄθ＋（ｙ−η（θ））ｄη／ｄθ＝０

　これより，包絡線の方程式は

　　ｘ＝ξ（θ）＋ｒｄη／ｄθ／｛（ｄξ／ｄθ）^2＋（ｄη／ｄθ）^2｝^(1/2)

　　ｙ＝η（θ）−ｒｄξ／ｄθ／｛（ｄη／ｄθ）^2＋（ｄξ／ｄθ）^2｝^(1/2)

および

　　ｘ＝ξ（θ）−ｒｄη／ｄθ／｛（ｄξ／ｄθ）^2＋（ｄη／ｄθ）^2｝^(1/2)

　　ｙ＝η（θ）＋ｒｄξ／ｄθ／｛（ｄη／ｄθ）^2＋（ｄξ／ｄθ）^2｝^(1/2)

とパラメータ表示されます．

　これは中心の軌跡（ξ，η）と直交する方向（法線方向）にｒだけ離れた２点の軌跡です．すなわち，中心の軌跡の平行曲線を描くというわけです．

　例をあげると，楕円：ｘ^2／ａ^2＋ｙ^2／ｂ^2＝１

のパラメータ表示

　　ξ＝ａｃｏｓθ，η＝ｂｓｉｎθ

については

　　ｘ＝ａｃｏｓθ＋ｒｂｃｏｓθ／（ａ^2ｓｉｎ^2θ＋ｂ^2ｃｏｓ^2θ）^(1/2)

　　ｙ＝ｂｓｉｎθ＋ｒａｓｉｎθ／（ａ^2ｓｉｎ^2θ＋ｂ^2ｃｏｓ^2θ）^(1/2)

および

　　ｘ＝ａｃｏｓθ−ｒｂｃｏｓθ／（ａ^2ｓｉｎ^2θ＋ｂ^2ｃｏｓ^2θ）^(1/2)

　　ｙ＝ｂｓｉｎθ−ｒａｓｉｎθ／（ａ^2ｓｉｎ^2θ＋ｂ^2ｃｏｓ^2θ）^(1/2)

のようになります．

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