内外の包絡線を分離したいのであるが、・・・

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

公転と自転の向きを同じ方向にとると，フルヴィッツ曲線の運動族は

　　ｘ＝(n-2)aｃｏｓ（nβ-θ）＋nａｃｏｓ（（ｎ−2）β+θ）−2Rｓｉｎ(β-θ）＋2ａｃｏｓ（（ｎ−1）θ）

　　ｙ＝-(n-2)aｓｉｎ（nβ-θ）＋nａｓｉｎ（（ｎ−2）β+θ）−2Rｃｏｓ(β-θ）＋2ａｓｉｎ（（ｎ−1）θ）

m=n-2

cos（ｍθ+β）+cos(n-1)β＝0

cos（ｍθ+nβ）/2cos（ｍθ-(n-2)β）/2=0

（ｍθ+ｎβ）/2=π/2、3π/2、5π/2、・・・

（ｍθ-(n-2)β）/2=π/2、3π/2、5π/2、・・・

θ＝β+（2ｋ-1）π/（ｎ-2）を代入すると

　　ｘ＝(n-2)aｃｏｓ(（n-1)β-（2ｋ-1）π/（ｎ-2））＋nａｃｏｓ（（ｎ−1）β+（2ｋ-1）π/（ｎ-2））−2Rｓｉｎ(-（2ｋ-1）π/（ｎ-2））＋2ａｃｏｓ（（ｎ−1）β+(2ｋ-1）π+(2ｋ-1）π/(n-2))

　　ｙ＝-(n-2)aｓｉｎ（（n-1)β-（2ｋ-1）π/（ｎ-2））＋nａｓｉｎ（（ｎ−1）β+（2ｋ-1）π/（ｎ-2））−2Rｃｏｓ(-（2ｋ-1）π/（ｎ-2））＋2ａｓｉｎ（（ｎ−1）β+(2ｋ-1）π+(2ｋ-1）π/(n-2)）

　　ｘ＝(n-2)ｃｏｓ(（n-1)β-（2ｋ-1）π/（ｎ-2））＋nｃｏｓ（（ｎ−1）β+（2ｋ-1）π/（ｎ-2））−2n(n-2)ｓｉｎ(-（2ｋ-1）π/（ｎ-2））-2ｃｏｓ（（ｎ−1）β+(2ｋ-1）π/(n-2))

　　ｙ＝-(n-2)ｓｉｎ（（n-1)β-（2ｋ-1）π/（ｎ-2））＋nｓｉｎ（（ｎ−1）β+（2ｋ-1）π/（ｎ-2））−2n(n-2)ｃｏｓ(-（2ｋ-1）π/（ｎ-2））-2ｓｉｎ（（ｎ−1）β+(2ｋ-1）π/(n-2)）

　　ｘ＝(n-2)ｃｏｓ(（n-1)β-（2ｋ-1）π/（ｎ-2））＋(n-2)ｃｏｓ（（ｎ−1）β+（2ｋ-1）π/（ｎ-2））+2n(n-2)ｓｉｎ(（2ｋ-1）π/（ｎ-2））

　　ｙ＝-(n-2)ｓｉｎ（（n-1)β-（2ｋ-1）π/（ｎ-2））＋(n-2)ｓｉｎ（（ｎ−1）β+（2ｋ-1）π/（ｎ-2））−2n(n-2)ｃｏｓ(（2ｋ-1）π/（ｎ-2））

　　ｘ＝2(n-2)ｃｏｓ(（n-1)β）ｃｏｓ（（2ｋ-1）π/（ｎ-2））+2n(n-2)ｓｉｎ(-（2ｋ-1）π/（ｎ-2））

　　ｙ＝2(n-2)cos（（n-1)β）ｓｉｎ（（2ｋ-1）π/（ｎ-2））−2n(n-2)ｃｏｓ(-（2ｋ-1）π/（ｎ-2））

xｓｉｎ（（2ｋ-1）π/（ｎ-2））-yｃｏｓ（（2ｋ-1）π/（ｎ-2））=2n(n-2) (直線)

βは0-2π/（ｎ-1）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

θ=-β+（2ｋ-1）π/(n-2)を代入すると

　　ｘ＝(n-2)aｃｏｓ（nβ-θ）＋nａｃｏｓ（（ｎ−2）β+θ）−2Rｓｉｎ(β-θ）＋2ａｃｏｓ（（ｎ−1）θ）

　　ｙ＝-(n-2)aｓｉｎ（nβ-θ）＋nａｓｉｎ（（ｎ−2）β+θ）−2Rｃｏｓ(β-θ）＋2ａｓｉｎ（（ｎ−1）θ）

　　ｘ＝(n-2)aｃｏｓ（(n+1)β-（2ｋ-1）π/(n-2)）＋nａｃｏｓ（(n-3)β+（2ｋ-1）π/(n-2)）−2Rｓｉｎ(2β-(2ｋ-1）π/(n-2)）＋2ａｃｏｓ（-（ｎ−1）β+（2ｋ-1）π+（2ｋ-1）π/(n-2)）

　　ｙ＝-(n-2)aｓｉｎ（(n+1)β-（2ｋ-1）π/(n-2)）＋nａｓｉｎ（(n-3)β+（2ｋ-1）π/(n-2)）−2Rｃｏｓ(2β-(2ｋ-1）π/(n-2)）＋2ａｓｉｎ（-（ｎ−1）nβ/(n-2)+（2ｋ-1）π-（2ｋ-1）π/(n-2)）

　　ｘ＝(n-2)aｃｏｓ（(n+1)β-（2ｋ-1）π/(n-2)）＋nａｃｏｓ（(n-3)β+（2ｋ-1）π/(n-2)）+2Rｓｉｎ(2β-(2ｋ-1）π/(n-2)）-2ａｃｏｓ（（ｎ−1）β-（2ｋ-1）π/(n-2)）

　　ｙ＝-(n-2)aｓｉｎ（(n+1)β-（2ｋ-1）π/(n-2)）＋nａｓｉｎ（(n-3)β+（2ｋ-1）π/(n-2)）−2Rｃｏｓ(2β-(2ｋ-1）π/(n-2)）+2ａｓｉｎ（（ｎ−1）β-（2ｋ-1）π/(n-2)）

　　ｘ＝(n-4)aｃｏｓ（(n+1)β-（2ｋ-1）π/(n-2)）＋nａｃｏｓ（(n-3)β+（2ｋ-1）π/(n-2)）+2Rｓｉｎ(2β-(2ｋ-1）π/(n-2)）

　　ｙ＝-(n-4)aｓｉｎ（n(n-1)/(n-2)β-（2ｋ-1）π/(n-2)）＋nａｓｉｎ（(n-3)β+（2ｋ-1）π/(n-2)）−2Rｃｏｓ(2β-(2ｋ-1）π/(n-2)）

βの定義域は、2π（1-1/(n-1)),2π）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝