公転と自転の向きを逆方向にとると，フルヴィッツ曲線の運動族は

　　ｘ＝(n-2)aｃｏｓ（nβ+θ）＋nａｃｏｓ（（ｎ−2）β−θ）−2Rｓｉｎ(β+θ）＋2ａｃｏｓ（（ｎ−1）θ）

　　ｙ＝-(n-2)aｓｉｎ（nβ+θ）＋nａｓｉｎ（（ｎ−2）β−θ）−2Rｃｏｓ(β+θ）＋2ａｓｉｎ（（ｎ−1）θ）

m=n

cos（ｍθ+β）-cos(n-1)β＝0

sin（ｍθ+β）/2sin（ｍθ-(n-2)β）/2=0

（ｍθ+nβ）/2=0,π、2π、3π、・・・

（ｍθ-(n-2)β）/2=0,π、2π、3π、・・・

m=n=3

　　ｘ＝ｃｏｓ（3β+θ）＋3ｃｏｓ（β−θ）−6ｓｉｎ(β+θ）＋2ｃｏｓ（2θ）

　　ｙ＝-ｓｉｎ（3β+θ）＋3ｓｉｎ（β−θ）−6ｃｏｓ(β+θ）＋2ｓｉｎ（2θ）

（ｍθ+nβ）/2=0,β＝-θを代入すると

　　ｘ＝ｃｏｓ（2θ）+3ｃｏｓ（2θ）＋2ｃｏｓ（2θ）=- 2ｃｏｓ（2θ）

　　ｙ＝ｓｉｎ（2θ）-3ｓｉｎ（2θ）−6＋2ｓｉｎ（2θ）=-6　　(直線)

（ｍθ-(n-2)β）/2=0,β＝3θを代入すると

　　ｘ＝ｃｏｓ（10θ）＋3ｃｏｓ（2θ）−6ｓｉｎ(4θ）＋2ｃｏｓ（2θ）

　　ｙ＝-ｓｉｎ（10θ）＋3ｓｉｎ（2θ）−6ｃｏｓ(4θ）＋2ｓｉｎ（2θ）

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公転と自転の向きを同じ方向にとると，フルヴィッツ曲線の運動族は

　　ｘ＝(n-2)aｃｏｓ（nβ-θ）＋nａｃｏｓ（（ｎ−2）β+θ）−2Rｓｉｎ(β-θ）＋2ａｃｏｓ（（ｎ−1）θ）

　　ｙ＝-(n-2)aｓｉｎ（nβ-θ）＋nａｓｉｎ（（ｎ−2）β+θ）−2Rｃｏｓ(β-θ）＋2ａｓｉｎ（（ｎ−1）θ）

m=n-2

cos（ｍθ+β）+cos(n-1)β＝0

cos（ｍθ+nβ）/2cos（ｍθ-(n-2)β）/2=0

（ｍθ+ｎβ）/2=π/2、3π/2、5π/2、・・・

（ｍθ-(n-2)β）/2=π/2、3π/2、5π/2、・・・

ｍ=1、ｎ＝3

　　ｘ＝ｃｏｓ（3β-θ）＋3ｃｏｓ（β+θ）−6ｓｉｎ(β-θ）＋2ｃｏｓ（2θ）

　　ｙ＝-ｓｉｎ（3β-θ）＋3ｓｉｎ（β+θ）−6ｃｏｓ(β-θ）＋2ｓｉｎ（2θ）

（ｍθ+ｎβ）/2=π/2。θ＝-3β＋πを代入

　　ｘ＝ｃｏｓ（6β-π）＋3ｃｏｓ（-2β+π）−6ｓｉｎ(4β-π）＋2ｃｏｓ（-6β+2π）

　　ｙ＝-ｓｉｎ（6β-π）＋3ｓｉｎ（-2β+π）−6ｃｏｓ(4β-π）＋2ｓｉｎ（-6β+2π）

　　ｘ＝-ｃｏｓ（6β）-ｃｏｓ（2β）+6ｓｉｎ(4β）＋2ｃｏｓ（6β）

　　ｙ＝ｓｉｎ（6β）＋3ｓｉｎ（2β）+6ｃｏｓ(4β）-2ｓｉｎ（6β）

（ｍθ-(n-2)β）/2=π/2,θ＝β+πを代入

　　ｘ＝ｃｏｓ（2β-π）＋3ｃｏｓ（2β+π）＋2ｃｏｓ（2β）

　　ｙ＝-ｓｉｎ（2β-π）＋3ｓｉｎ（2β+π）+6＋2ａｓｉｎ（2β）

　　ｘ＝-ｃｏｓ（2β）-3ｃｏｓ（2β）＋2ｃｏｓ（2β）＝−2ｃｏｓ（2β）

　　ｙ＝+ｓｉｎ（2β）-3ｓｉｎ（2β）+6＋2ａｓｉｎ（2β）＝6　　（直線)

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内外の包絡線を分離することができればよいのであるが、困難であろう。

ともあれ、考えかた自体は間違いではなかったことになる。

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