【１】フルヴィッツ曲線の回転

　フルヴィッツ曲線を(x,y)で表すことにする．

　　ｘ＝（ｎ−2）aｃｏｓｎβ＋ｎaｃｏｓ（ｎ−2）β−2Rｓｉｎβ

　　ｙ＝-（ｎ−2）aｓｉｎｎβ+ｎaｓｉｎ（ｎ−2）β−2Rｃｏｓβ

で表すことにする．

　この曲線を（ｎ−1）公転について１回自転させてみる．その際，公転と自転の向きを逆方向にとると，

　　［Ｘ］＝［　ｃｏｓθ，ｓｉｎθ］［ｘ］＋ａｃｏｓ（ｎ−1）θ

　　［Ｙ］＝［−ｓｉｎθ，ｃｏｓθ］［ｙ］＋ａｓｉｎ（ｎ−1）θ

　フルヴィッツ曲線の運動族は

　　ｘ＝(n-2)aｃｏｓ（nβ+θ）＋nａｃｏｓ（（ｎ−2）β−θ）−2Rｓｉｎ(β+θ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−1）θ）

　　ｙ＝-(n-2)aｓｉｎ（nβ+θ）＋nａｓｉｎ（（ｎ−2）β−θ）−2Rｃｏｓ(β+θ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−1）θ）

で表される

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【２】包絡線の求め方

　パラメータ表示された曲線：ｘ＝ｘ（β，θ），ｙ＝ｙ（β，θ）が与えられている場合，パラメータβが微小変化するとき，包絡線に接しているある点における接線の傾きは

　　ｄｙ／ｄｘ＝（∂ｙ／∂β）／（∂ｘ／∂β）

で，この傾きの曲線に沿ってｘ方向に∂ｘ／∂β，ｙ方向に∂ｙ／∂β変化します．

　パラメータθが動くときも同様で，

　　ｄｙ／ｄｘ＝（∂ｙ／∂θ）／（∂ｘ／∂θ）

したがって，

　　（∂ｙ／∂β）／（∂ｘ／∂β）＝（∂ｙ／∂θ）／（∂ｘ／∂θ）

　　（∂ｙ／∂β）（∂ｘ／∂θ）−（∂ｙ／∂β）（∂ｘ／∂θ）＝０

が成り立てば接線に沿って動いていくことになります．この点の軌跡が求める包絡線にほかなりません．

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　フルヴィッツ曲線の運動族は

　　ｘ＝(n-2)aｃｏｓ（nβ+θ）＋nａｃｏｓ（（ｎ−2）β−θ）−2Rｓｉｎ(β+θ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−1）θ）

　　ｙ＝-(n-2)aｓｉｎ（nβ+θ）＋nａｓｉｎ（（ｎ−2）β−θ）−2Rｃｏｓ(β+θ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−1）θ）

に対して

　　（∂ｙ／∂β）（∂ｘ／∂θ）−（∂x／∂β）（∂y／∂θ）＝０

を計算すると

（∂ｙ／∂β）=-ｎ(n-2)acos（nβ+θ）＋n(n-2)ａcos（（ｎ−2）β−θ）+2Rsin(β+θ）

（∂ｘ／∂θ）=-(n-2)asin（nβ+θ）＋nａsin（（ｎ−2）β−θ）−2Rcos(β+θ）-(n-1)ａsin（（ｎ−1）θ）

（∂x／∂β）=-n(n-2)asin（nβ+θ）-n(n-2)ａsin（（ｎ−2）β−θ）−2Rcos(β+θ）

（∂y／∂θ）=-(n-2)acos（nβ+θ）-nａcos（（ｎ−2）β−θ）+2Rsin(β+θ）＋(n-1)ａcos（（ｎ−1）θ）

R＝n(n-2)aとおくと少しは簡単になりそうだ。

（∂ｙ／∂β）=-cos（nβ+θ）＋cos（（ｎ−2）β−θ）+2sin(β+θ）

（∂ｘ／∂θ）=-(n-2)sin（nβ+θ）＋nsin（（ｎ−2）β−θ）−2n(n-2)cos(β+θ）-(n-1)sin（（ｎ−1）θ）

（∂x／∂β）=-sin（nβ+θ）-sin（（ｎ−2）β−θ）−2cos(β+θ）

（∂y／∂θ）=-(n-2)cos（nβ+θ）-ncos（（ｎ−2）β−θ）+2n(n-2)sin(β+θ）＋(n-1)cos（（ｎ−1）θ）

-(n-2)sin((2n-2)β)-2(n-2)cos(1-n)β

-nsin((2n-2)β) -2ncos(1-n)β

+2n(n-2)cos(n-1)β-2n(n-2)cos(n-1)β

(n-1)sin(nβ+nθ)+(n-1)sin(((n-2)β-nθ)+2(n-1)cos(β+nθ）=0

-(2n-2)sin((2n-2)β)-4(n-1)cos(n-1)β

｛(n-1)sin(nβ)+(n-1)sin(n-2)β+2(n-1)cosβ｝cos(nθ)

{(n-1)cos(nβ)-(n-1)cos(n-2)β-2(n-1)sinβ}sin(nθ)=0

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Ａｓｉｎ（ｎθ）＋Ｂｃｏｓ（ｎθ）＝Ｃ

の形に整理されました．

　Ａ，Ｂ，Ｃの具体的な形は割愛し考え方を示すにとどめますがますが，ここで

　　ｃｏｓψ＝Ａ／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)，

　　ｓｉｎψ＝Ｂ／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)，

　　ｔａｎψ＝Ｂ／Ａ

とおくと，

　　ｓｉｎ（ｎθ＋ψ）＝Ｃ／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)

より

　　ｎθ=−ａｒｃｔａｎ（Ｂ／Ａ）＋ａｒｃｓｉｎ（Ｃ／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)）

　＝（ｎ−3）θ−ａｒｃｔａｎ（Ｂ／Ａ）＋ａｒｃｔａｎ（Ｃ／（Ａ^2＋Ｂ^2−Ｃ^2）^(1/2)）

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