ペリトロコイド曲線の運動族

　　ｘ＝Ｒｃｏｓ（β＋γ−θ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−１）β−θ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−２）θ）

　　ｙ＝Ｒｓｉｎ（β＋γ−θ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−１）β−θ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−２）θ）

に対して

　　（∂ｙ／∂β）（∂ｘ／∂θ）−（∂x／∂β）（∂y／∂θ）＝０→訂正

を計算すると

　　θ＝β−２／（ｎ−１）ａｒｃｔａｎ（Ｒｓｉｎ（（ｎ−２）β−γ）／（Ｒｃｏｓ（（ｎ−２）β−γ）＋（ｎ−１）ａ））

となって，包絡線は１パラメータ曲線：ｘ＝ｘ（β），ｙ＝ｙ（β）となります．

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∂ｙ／∂β＝Ｒcos（β＋γ−θ）＋（ｎ−１）ａcos（（ｎ−１）β−θ）

∂ｘ／∂θ＝Ｒsin（β＋γ−θ）＋ａsin（（ｎ−１）β−θ）-（ｎ−２）ａsin（（ｎ−２）θ）

∂x／∂β＝-Ｒsin（β＋γ−θ）-（ｎ−１）ａsin（（ｎ−１）β−θ）

∂y／∂θ＝-Ｒcos（β＋γ−θ）-ａcos（（ｎ−１）β−θ）＋（ｎ−２）ａcos（（ｎ−２）θ）

Ｒ（ｎ−2）ａsin（β＋γ−θ-（ｎ−１）β+θ）

Ｒ（ｎ−2）ａsin（β＋γ−θ-（ｎ−2）θ）

(n-1)(n-2)a^2sin（ｎ−１）β-θ-（ｎ−２）θ)=0

Ｒsin（γ-（ｎ−2）β）

Ｒsin（β＋γ-（ｎ−1）θ）

(n-1)asin（ｎ−１）β-（ｎ−1）θ)=0

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Ｒsin（γ-（ｎ−2）β）

Ｒsin（（ｎ−１）β-（ｎ−1）θ+γ-（ｎ−2）β））

(n-1)asin（ｎ−１）β-（ｎ−1）θ)=0

Ｒsin（γ-（ｎ−2）β）

Ｒsin（（ｎ−１）β-（ｎ−1）θ）cos（γ-（ｎ−2）β）

Ｒcos（（ｎ−１）β-（ｎ−1）θ）sin（γ-（ｎ−2）β）

(n-1)asin（ｎ−１）β-（ｎ−1）θ)=0

Ｒsin（γ-（ｎ−2）β）

sin（ｎ−１）β-（ｎ−1）θ){Rcos（γ-（ｎ−2）β）+(n-1)a}

cos（（ｎ−１）β-（ｎ−1）θ）{Rsin（γ-（ｎ−2）β）}=0

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Ａｓｉｎ（（ｎ−1）β−（ｎ−1）θ）＋Ｂｃｏｓ（（ｎ−１）β−（ｎ−１）θ）＝Ｃ

の形に整理されました．

　Ａ，Ｂ，Ｃの具体的な形は割愛し考え方を示すにとどめますがますが，ここで

　　ｃｏｓψ＝Ａ／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)，

　　ｓｉｎψ＝Ｂ／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)，

　　ｔａｎψ＝Ｂ／Ａ

とおくと，

　　ｓｉｎ（（ｎ−1）β−（ｎ−1）θ＋ψ）＝Ｃ／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)

より

　　（ｎ−1）β＝（ｎ−1）θ−ａｒｃｔａｎ（Ｂ／Ａ）＋ａｒｃｓｉｎ（Ｃ／（Ａ^2＋Ｂ^2）^(1/2)）

　＝（ｎ−1）θ−ａｒｃｔａｎ（Ｂ／Ａ）＋ａｒｃｔａｎ（Ｃ／（Ａ^2＋Ｂ^2−Ｃ^2）^(1/2)）

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Ａ＝Rcos（γ-（ｎ−2）β）+(n-1)a

Ｂ＝Rsin（γ-（ｎ−2）β）

Ｃ＝Ｒsin（（ｎ−2）β-γ）＝-Ｂ

　＝（ｎ−1）θ−ａｒｃｔａｎ（-C／Ａ）＋ａｒｃｔａｎ（Ｃ／A）

　＝（ｎ−1）θ+2ａｒｃｔａｎ（Ｃ／A）

より

　　θ＝β−２／（ｎ−１）ａｒｃｔａｎ（Ｒｓｉｎ（（ｎ−２）β−γ）／（Ｒｃｏｓ（（ｎ−２）β−γ）＋（ｎ−１）ａ））

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