【１】外周曲線の回転

　外周曲線を(x,y)で表すことにする．たとえば、ペリトロコイド曲線を

　　ｘ＝Ｒｃｏｓ（β＋γ）＋ａｃｏｓ（ｎ−１）β

　　ｙ＝Ｒｓｉｎ（β＋γ）＋ａｓｉｎ（ｎ−１）β

で表すことにする．

　この曲線を（ｎ−２）公転について１回自転させてみる．その際，公転と自転の向きを同じ方向にとると，

　　［Ｘ］＝［ｃｏｓθ，-ｓｉｎθ］［ｘ］＋ａｃｏｓ（ｎ−２）θ

　　［Ｙ］＝［ｓｉｎθ， ｃｏｓθ］［ｙ］＋ａｓｉｎ（ｎ−２）θ

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　ペリトロコイド曲線の運動族

　　ｘ＝Ｒｃｏｓ（β＋γ+θ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−１）β+θ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−２）θ）

　　ｙ＝Ｒｓｉｎ（β＋γ+θ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−１）β+θ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−２）θ）

に対して

　　（∂ｙ／∂β）（∂ｘ／∂θ）−（∂ｙ／∂β）（∂ｘ／∂θ）＝０

を計算すると

∂ｙ／∂β＝Ｒcos（β＋γ+θ）＋（ｎ−１）ａcos（（ｎ−１）β+θ）

∂ｘ／∂θ＝-Ｒsin（β＋γ+θ）-ａsin（（ｎ−１）β+θ）-（ｎ−２）ａsin（（ｎ−２）θ）

∂x／∂β＝-Ｒsin（β＋γ+θ）-（ｎ−１）ａsin（（ｎ−１）β+θ）

∂y／∂θ＝ Ｒcos（β＋γ+θ）+ａcos（（ｎ−１）β+θ）+（ｎ−２）ａcos（（ｎ−２）θ）

-Ｒ（ｎ−2）ａsin（β＋γ+θ-（ｎ−１）β-θ）

Ｒ（ｎ−2）ａsin（β＋γ+θ-（ｎ−2）θ）

(n-1)(n-2)a^2sin(（ｎ−１）β+θ-（ｎ−２）θ)=0

-Ｒsin（β＋γ-（ｎ−1）β）

Ｒsin（β＋γ-（ｎ−3）θ）

(n-1)asin（ｎ−１）β-（ｎ−3）θ)=0

2Ｒcos（2γ+2β-（ｎ−1）β-（ｎ−3）θ）/2・sin(（ｎ−1）β-（ｎ−3）θ）)/2

2(n-1)asin（ｎ−１）β-（ｎ−3）θ)/2・cos（ｎ−１）β-（ｎ−3）θ)/2＝0

Rcos（2γ+2β-（ｎ−1）β-（ｎ−3）θ）/2+(n-1)acos（ｎ−１）β-（ｎ−3）θ)/2=0

Rcos（γ+β)cos(ｎ−1）β+（ｎ−3）θ）/2+Rsin（γ+β)sin(ｎ−1）β+（ｎ−3）θ）/2+(n-1)acos（ｎ−１）β-（ｎ−3）θ)/2=0

再検したところ、ここで計算ができなくなった。

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そこで、

Rcos（2γ+2β-（ｎ−1）β-（ｎ−3）θ）/2+(n-1)acos（ｎ−１）β-（ｎ−3）θ)/2=0

に対して

sin（（ｎ−１）β-（ｎ−1）θ)/2=R/{R^2+(n-1)^2a^2}^1/2

sin(2γ+2β-（ｎ−1）β-（ｎ−1）θ）/2=(n-1)a/{R^2+(n-1)^2a^2}^1/2

とおければ（実際はおけない）

sin（2γ+2β-（ｎ−1）β-（ｎ−3）θ）/2+（ｎ−１）β-（ｎ−3）θ)/2）＝0

γ+β-（ｎ−3）θ＝0

θ＝（γ+β）/（ｎ−3）

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