ペリトロコイド曲線の運動族

　　ｘ＝Ｒｃｏｓ（β＋γ−θ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−１）β−θ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−２）θ）

　　ｙ＝Ｒｓｉｎ（β＋γ−θ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−１）β−θ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−２）θ）

に対して

　　（∂ｙ／∂β）（∂ｘ／∂θ）−（∂x／∂β）（∂y／∂θ）＝０→訂正

を計算すると

　　θ＝β−２／（ｎ−１）ａｒｃｔａｎ（Ｒｓｉｎ（（ｎ−２）β−γ）／（Ｒｃｏｓ（（ｎ−２）β−γ）＋（ｎ−１）ａ））

となって，包絡線は１パラメータ曲線：ｘ＝ｘ（β），ｙ＝ｙ（β）となります．

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∂ｙ／∂β＝Ｒcos（β＋γ−θ）＋（ｎ−１）ａcos（（ｎ−１）β−θ）

∂ｘ／∂θ＝Ｒsin（β＋γ−θ）＋ａsin（（ｎ−１）β−θ）-（ｎ−２）ａsin（（ｎ−２）θ）

∂x／∂β＝-Ｒsin（β＋γ−θ）-（ｎ−１）ａsin（（ｎ−１）β−θ）

∂y／∂θ＝-Ｒcos（β＋γ−θ）-ａcos（（ｎ−１）β−θ）＋（ｎ−２）ａcos（（ｎ−２）θ）

Ｒ（ｎ−2）ａsin（β＋γ−θ-（ｎ−１）β+θ）

Ｒ（ｎ−2）ａsin（β＋γ−θ-（ｎ−2）θ）

(n-1)(n-2)a^2sin(（ｎ−１）β-θ-（ｎ−２）θ)=0

Ｒsin（β＋γ-（ｎ−1）β）

Ｒsin（β＋γ-（ｎ−1）θ）

(n-1)asin（ｎ−１）β-（ｎ−1）θ)=0

2Ｒsin（2γ+2β-（ｎ−1）β-（ｎ−1）θ）/2・cos(-（ｎ−1）β+（ｎ−1）θ）)/2

2(n-1)asin（ｎ−１）β-（ｎ−1）θ)/2・cos（ｎ−１）β-（ｎ−1）θ)/2＝0

Rsin（2γ+2β-（ｎ−1）β-（ｎ−1）θ）/2+(n-1)asin（ｎ−１）β-（ｎ−1）θ)/2=0

Rsin（γ+β)cos(ｎ−1）β+（ｎ−1）θ）/2-Rcos（γ+β)sin(ｎ−1）β+（ｎ−1）θ）/2-(n-1)asin（ｎ−１）β-（ｎ−1）θ)/2=0

再検したところ、ここで計算ができなくなった。

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そこで、

cos（（ｎ−１）β-（ｎ−1）θ)/2=R/{R^2+(n-1)^2a^2}^1/2

cos(2γ+2β-（ｎ−1）β-（ｎ−1）θ）/2=(n-1)a/{R^2+(n-1)^2a^2}^1/2

とおければ（実際はおけない）

sin（2γ+2β-（ｎ−1）β-（ｎ−1）θ）/2+（ｎ−１）β-（ｎ−1）θ)/2）＝0

γ+β-（ｎ−1）θ＝0

θ＝（γ+β）/（ｎ−1）

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