【１】外周曲線の回転

　外周曲線を(x,y)で表すことにする．たとえば、ペリトロコイド曲線を

　　ｘ＝Ｒｃｏｓ（β＋γ）＋ａｃｏｓ（ｎ−１）β

　　ｙ＝Ｒｓｉｎ（β＋γ）＋ａｓｉｎ（ｎ−１）β

で表すことにする．

　この曲線を（ｎ−２）公転について１回自転させてみる．その際，公転と自転の向きを逆方向にとると，

　　［Ｘ］＝［　ｃｏｓθ，ｓｉｎθ］［ｘ］＋ａｃｏｓ（ｎ−２）θ

　　［Ｙ］＝［−ｓｉｎθ，ｃｏｓθ］［ｙ］＋ａｓｉｎ（ｎ−２）θ

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【２】包絡線の求め方

　陰関数ｆ（ｘ，ｙ）＝０上の点（ｘ，ｙ）で接線の方程式を求めるには，２変数関数の微分の知識が必要です．その場合，ｆ（ｘ，ｙ）＝０のｙをｘの関数（ｆ（ｘ，ｙ（ｘ））＝０）とみなして，両辺をｘで偏微分すれば２変数関数の合成微分の公式によって

　　∂ｆ／∂ｘｄｘ／ｄｘ＋∂ｆ／∂ｙｄｙ／ｄｘ＝０

すなわち，ｆx＋ｆyｄｙ／ｄｘ＝０より，

　　ｙ’＝ｄｙ／ｄｘ＝−ｆx／ｆy

が得られます．ｆx＋ｆyｙ’＝０の式をｘの関数とみて，さらに，この両辺をｘで微分すれば

ｆxx＋ｆxyｙ’＋（ｆyx＋ｆyyｙ’）ｙ’＋ｆyｙ”＝０

より

　　ｙ”＝ｄ^2ｙ／ｄｘ^2

　　　　＝−１／ｆy（ｆxx−２ｆxyｆx／ｆy＋ｆyyｆx^2／ｆy^2）

が得られます．決して，ｙ”＝−ｆxx／ｆyyなどというでたらめを書かないように！

　曲線族の各々の曲線すべてに接する曲線が包絡線です．曲線族が陰関数ｆ（ｘ，ｙ，ｔ）＝０で与えられている場合，パラメータｔが動くときの包絡線の方程式を求めるにはｆt＝０を解いてｔ＝ｇ（ｘ，ｙ）を消去したり，あるいはｘ，ｙをｔで表します．

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　パラメータ表示された曲線：ｘ＝ｘ（β，θ），ｙ＝ｙ（β，θ）が与えられている場合，パラメータβが微小変化するとき，包絡線に接しているある点における接線の傾きは

　　ｄｙ／ｄｘ＝（∂ｙ／∂β）／（∂ｘ／∂β）

で，この傾きの曲線に沿ってｘ方向に∂ｘ／∂β，ｙ方向に∂ｙ／∂β変化します．

　パラメータθが動くときも同様で，

　　ｄｙ／ｄｘ＝（∂ｙ／∂θ）／（∂ｘ／∂θ）

したがって，

　　（∂ｙ／∂β）／（∂ｘ／∂β）＝（∂ｙ／∂θ）／（∂ｘ／∂θ）

　　（∂ｙ／∂β）（∂ｘ／∂θ）−（∂ｙ／∂β）（∂ｘ／∂θ）＝０

が成り立てば接線に沿って動いていくことになります．この点の軌跡が求める包絡線にほかなりません．

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　ペリトロコイド曲線の運動族

　　ｘ＝Ｒｃｏｓ（β＋γ−θ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−１）β−θ）＋ａｃｏｓ（（ｎ−２）θ）

　　ｙ＝Ｒｓｉｎ（β＋γ−θ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−１）β−θ）＋ａｓｉｎ（（ｎ−２）θ）

に対して

　　（∂ｙ／∂β）（∂ｘ／∂θ）−（∂ｙ／∂β）（∂ｘ／∂θ）＝０

を計算すると

　　θ＝β−２／（ｎ−１）ａｒｃｔａｎ（Ｒｓｉｎ（（ｎ−２）β−γ）／（Ｒｃｏｓ（（ｎ−２）β−γ）＋（ｎ−１）ａ））

となって，包絡線は１パラメータ曲線：ｘ＝ｘ（β），ｙ＝ｙ（β）となります．

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【３】ローター曲線

　ロータリーエンジンはペリトロコイド曲線と包絡線を基本形状として設計されますが，ローターとなるのは内包絡線だけですから，外包絡線部分を除いてやる必要があります．そのための条件として

　　Ｒｃｏｓ（（ｎ−２）β−γ）＋（ｎ−１）ａ＝０

を用います．

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