ヘロンの公式・オイラーの四面体公式を高次元に拡張した公式がサマーヴィルの単体公式である。

それに対し、ヘロンの公式を四角形に拡張すると…

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【１】ヘロンの公式とブラーマグプタの公式

　三角形の面積は，ヘロンの公式

　　Ｓ＝（ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ））^1/2，

　　ｓ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）／２

で求めることができる．

　４辺の長さを与えてもその形は決まらないので，そのような公式は期待できないが，四角形が円に内接するとき，面積は最大値をとり，ブラーマグプタの公式

　　Ｓ＝（（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）（ｓ−ｄ））^1/2，

　　ｓ＝（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）／２

が成り立つ．

［Ｑ］円に内接する五角形や六角形についても同様の公式はあるのだろうか？

［Ａ］円に内接する五角形は辺の長さを与えても一意に定まらない．一般にそのような公式の存在しないことの証明が

　　［参］のんびり数学研究会「ガロアに出会う」数学書房

に掲載されている．

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