等面四面体

ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝１

ＡＣ＝ＢＤ＝ｂ

ＡＤ＝１

の高さの最大値・最小値を求めよ．

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１４４Ｖ^2＝２ｂ^4（２−ｂ^2），９Ｖ^2＝ｂ^4（２−ｂ^2）／８

Ｖ＝Ｓ・ｈ／３

ｈ＝３Ｖ／Ｓ，ｈ^2＝９Ｖ^2／Ｓ^2

ｂ＋２＝２ｓとおくと，ヘロンの公式より

Ｓ^2＝ｓ（ｓ−１）^2（ｓ−ｂ）

＝（ｂ／２＋１）ｂ^2（１−ｂ／２）＝ｂ^2（１−ｂ^2／４）／４

＝ｂ^2（４−ｂ^2）

ｈ^2＝９Ｖ^2／Ｓ^2＝ｂ^4（２−ｂ^2）／８・１／ｂ^2（４−ｂ^2）

＝ｂ^2（２−ｂ^2）／８（４−ｂ^2）

Ｈ＝８ｈ^2

Ｈ＝Ｂ（２−Ｂ）／（４−Ｂ）

Ｂ＝１のとき，Ｈ＝１／３

Ｂ＝４／３のとき，Ｈ＝（４／３・２／３）／（８／３）＝１／３

正四面体とサマーヴィルの等面四面体の高さは等しいことがわかる．

Ｈ’＝｛（２−２Ｂ）（４−Ｂ）＋Ｂ^2（２−Ｂ）｝／（４−Ｂ）^2

＝（８−１０Ｂ＋４Ｂ^2−Ｂ^3）／（４−Ｂ）^2

Ｂ＝１のとき，Ｈ’＝１／９

Ｂ＝４／３のとき，

Ｈ’＝（８−４０／３＋６４／９−６４／２７）／（４／９）

＝（２１６−３６０＋１９２−６４）／２７・９／４＝−４／３

高さの最小値は，正四面体とサマーヴィルの等面四面体の間にある．

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