ｘ^y　　（ｘ≧２，ｙ≧２）の形で表される数を完全ベキ乗数と呼ぶことにする．

　　｛ａn｝＝｛１，４，８，９，１６，２５，２７，３２，３６，・・・｝

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　　Σ１／（ａn＋１）＝π^2／３−５／２　　（ｎ≧２）

すなわち，

　　１＝１／５＋１／９＋１／１０＋１／１７＋１／２６＋１／２８＋１／３３＋１／３７＋・・・

が成り立つことも証明された．この証明は

Σ１／（ｍ^2−１）＝７/４-π^2/６

に基づいてなされる

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ｍをベキとするとき

　　Σ１／（ｍ^2−１）＝７/４-π^2/６

すなわち、1/15+1/63+1/80+1/255+1/624+・・・=７/４-π^2/６

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【１】オイラーの証明

π^2/６=1+1/4+1/9+1/16+1/25+1/36+・・・

1/3=1/4+1/16++1/64+・・・

1/8=1/9+1/81+1/729+・・・

1/24=1/15+1/625+・・・

1/35=1/36+1/1296+・・・

などを使うと

π^2/６=1+1/3+1/8+1/24+1/35+1/48+1/99+・・・

ところで、ｎ＞＝2とすると

Σ１／（ｎ^2−１）＝Σ｛１/２（ｎ-1）-１/２（ｎ+1）｝＝1/2+1/4＝3/4

１＋Σ１／（ｎ^2−１）＝７/4

＝1+1/3+1/8+1/15+1/24+1/35+1/48+1/63+1/80+・・・

これから

π^2/６=1+1/3+1/8+1/24+1/35+1/48+1/99+・・・

をひくと

1/15+1/63+1/80+1/255+1/624+・・・=７/４-π^2/６

となる。

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