ｎ個の尖点をもつハイポサイクロイドは

　　ｘ＝（ｎ−１）ｃｏｓθ＋ｃｏｓ（ｎ−１）θ

　　ｙ＝（ｎ−１）ｓｉｎθ−ｓｉｎ（ｎ−１）θ

で表される。自然方程式はどのような形になるのだろうか？

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dx/dt=-(n-1)sint-(n-1)sin(n-1)t

dy/dt=(n-1)cost-(n-1)cos(n-1)t

d^2x/dt^2=-(n-1)cost-(n-1)^2cos(n-1)t

d^2y/dt^2=-(n-1)sint+(n-1)^2sin(n-1)t

{dx/dt・d^2y/dt^2-d^2x/dt^2・dy/dt}

=(n-1)^2(sint+sin(n-1)t)(sint-(n-1)sin(n-1)t)+(n-1)^2(cost-cos(n-1)t)(cost+(n-1)cos(n-1)t)

=-n(n-1)^2{1-cosnt}=-2n(n-1)^2{sin(nt/2)}^2

{(dx/dt)^2+(dｙ/dt)^2}=2(n-1)^2{1-cos(nt)}=4(n-1)^2{sin(nt/2)}^2

κ=-2n(n-1)^2{sin(nt/2)}^2/8(n-1)^3{sin(nt/2)}^3=-n/4(n-1){sin(nt/2)}

s=∫{(dx/dt)^2+(dｙ/dt)^2}^1/2ｄｔ

=2(n-1)∫sin(nt/2)dt＝-4(n-1)/n・cos(nt/2)

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さらに回転円の半径ｒを追加すると、

κ=-n/4r(n-1){sin(nt/2)}

s=-4r(n-1)/n・cos(nt/2)

cos(nt/2)=s/(-4r(n-1)/n)

1/κ^2+s^2=16r^2｛(n-1)/n}^2

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