サイクロイド

x=a(θ-sinθ)

y=a(1-cosθ)

では、θ=πに対応する点をs=0とすると、その自然方程式は

1/κ(s)^2+s^2=16a^2

となる。

エピサクロイド・ハイポサイクロイド類は

　　x=acosαt+bsosβt

　　y=asinαt+bsinβt

で表される。

自然方程式はどのような形になるのだろうか？

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dx/dt=-aαsinαt-bβsinβt

dy/dt=aαcosαt+bβcosβt

d^2x/dt^2=-aα^2cosαt-bβ^2cosβt

d^2y/dt^2=-aα^2sinαt-bβ^2sinβt

{dx/dt・d^2y/dt^2-d^2x/dt^2・dy/dt}

=(aαsinαt+bβsinβt)(aα^2sinαt+bβ^2sinβt)+(aαcosαt+bβcosβt)(aα^2cosαt+bβ^2cosβt)

=a^2α^3+b^2β^3

+aαbβ^2sinαtsinβt+aα^2bβsinαtsinβt

+aαbβ^2cosαtcosβt+aα^2bβcosαtcosβt

=a^2α^3+b^2β^3+(aαbβ^2+aα^2bβ)cos(α-β)t

s=∫{(dx/dt^2)^2+(dｙ/dt)^2}^1/2ｄｔ

{(dx/dt^2)^2+(dｙ/dt)^2}=(aα)^2+(bβ)^2+2abαβcos(α-β)t

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　ｎ個の尖点をもつハイポサイクロイド

　　ｘ＝（ｎ−１）ｃｏｓθ＋ｃｏｓ（ｎ−１）θ

　　ｙ＝（ｎ−１）ｓｉｎθ−ｓｉｎ（ｎ−１）θ

aα=n-1,bβ=n-1,abαβ=(n-1)^2,n-1=Dとおく

a^2α^3=(n-1)^2=E,b^2β^3=(n-1)^3,(aαbβ^2+aα^2bβ)=n(n-1)^2

　一方，エピサイクロイドは

　　ｘ＝（ｎ＋１）ｃｏｓθ−ｃｏｓ（ｎ＋１）θ

　　ｙ＝（ｎ＋１）ｓｉｎθ−ｓｉｎ（ｎ＋１）θ

aα=n+1,bβ=n+1,abαβ=(n+1)^2,n＋1=Dとおく

a^2α^3=(n+1)^2=E,b^2β^3=(n+1)^3,(aαbβ^2+aα^2bβ)=n(n+1)^2

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{(dx/dt^2)^2+(dｙ/dt)^2}=(aα)^2+(bβ)^2+2abαβcos(α-β)t

=2D(1+cos(α-β)t)=4D{cos((α-β)t/2}^2

{dx/dt・d^2y/dt^2-d^2x/dt^2・dy/dt}=E(1+cos(α-β)t)=2E{cos((α-β)t/2}^2

s=∫{(dx/dt^2)^2+(dｙ/dt)^2}^1/2ｄｔ＝2Ｄ^1/2∫cos((α-β)t/2dt=-4Ｄ^1/2/(α-β)

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