弧長パラメータsで表された曲線の曲率は

x''＝-κy',y''=κｘ’

より、

κ=x'y''-x''y'=κ{x'^2+y'2}=κ

　一般のパラメータｔで表された曲線の曲率は

x'＝dx/dt・dt/ds

y'＝dy/dt・dt/ds

x'’＝d^2x/dt^2・(dt/ds)^2+dx/dt・d^2t/ds^2

y'’＝d^2y/dt^2・(dt/ds)^2+dy/dt・d^2t/ds^2

より

κ={dx/dt・d^2y/dt^2-d^2x/dt^2・dy/dt}/{(dx/dt)^2+(dｙ/dt)^2}^3/2

で与えられる。

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　サイクロイド

x=a(θ-sinθ)

y=a(1-cosθ)

では、θ=πに対応する点をs=0とすると、その自然方程式は

1/κ(s)^2+s^2=16a^2

となる。

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