２ｎ＋１個の尖点をもつ星状図形の接線が曲線に挟まれる部分の長さｌは，点Ｐをこの曲線上の任意の点とすると，点Ｐが尖点上にあるとき接線の長さは最大になること，同じことであるが弧の中間点にあるとき最小になることを説明なしに述べた．

　そして，点Ｐが弧の中間点にあるときの接線の長さは，ｎを大きくすれば次第に１に近づくことになり「長さが１である線分を１回転させるのに必要な最小面積」を与える近似図形になる．

　すなわち，この星状領域はデルトイドのように接線の長さが一定という決定的な性質をもつ領域に近づくことになり，星状掛谷集合の下限は

　　Ｋ2＝（５−２√２）π／２４（.284258）

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【１】接線と接線の長さ

　　中心が（ｒ，ｄ）の半径ｄの円弧上の点Ｐ（ｘ0，ｙ0）における接線の方程式は

　　（ｘ−ｒ）^2＋（ｙ−ｄ）^2＝ｄ^2

を微分して，接線の傾きを

　　ｄｙ／ｄｘ＝−（ｘ0−ｒ）／（ｙ0−ｄ）＝ｍ

として

　　ｙ＝ｍ（ｘ−ｘ0）＋ｙ0

で与えられる．

　この接線が交わる円弧は，この円弧を

　　α＝２ｎθ，２（ｎ＋１）θ　　　　θ＝π／（２ｎ＋１）

だけ回転させたものであるから，

　　［ｘc］＝［ｃｏｓα，−ｓｉｎα］［ｒ］

　　［ｙc］　［ｓｉｎα，　ｃｏｓα］［ｄ］

を中心（ｘc，ｙc）とする半径ｄの円弧

　　（ｘ−ｘc）^2＋（ｙ−ｙc）^2＝ｄ^2

である．

　これに

　　ｙ＝ｍ（ｘ−ｘ0）＋ｙ0

を代入，２次方程式を解いて，交点Ｐ1（ｘ1，ｙ1），Ｐ2（ｘ2，ｙ2）を求めることになる．

　接線の長さｌは

　　ｌ＝｛（ｘ1−ｘ2）^2＋（ｙ1−ｙ2）^2｝^(1/2)

で与えられるが，たとえば３尖点星状領域（ｎ＝１）の場合，点Ｐを尖点上からこの中間点に向かって動かすときの接線の長さは次第に短くなることが示される．

　なお，半径３／４の円に内接するデルトイドの場合，接線の長さは１で一定である．

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　また，点Ｐが弧の中間点にあるときの接線の長さは，ｎを大きくすれば１に次第に近づくことになる．

　このとき，ｒ→（２＋√２）／４であるから

　　ｌ／ｒ　→　２（２−√２）=1.17157

なお，デルトイドの場合，ｒ＝４／３，ｌ＝１であるから

　　ｌ／ｒ＝４／３=1.33333

　この星状領域はデルトイドのように接線の長さが一定という決定的な性質をもつ領域に近づくことになり，星状掛谷集合の下限は

　　Ｋ2＝（５−２√２）π／２４（.284258）

と予想されるというわけである．

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