２ｎ＋１個の尖点をもつ星状領域の面積Ｓnが掛谷定数：（５−２√２）π／２４に収束することを示します。

　　Ｓn→（５−２√２）π／２４＜π／１１

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【１】星状領域の面積

　ベシコビッチの論文がでた１９２７年以降も，単連結となる最小の星状領域はデルトイド（面積：π／８）であると信じられていました．ところが，これらより面積が小さい図形が考えだされました．

　デルトイドが３個の尖点をもっていることに着目すると，５個の尖点，７個の尖点，・・・をもつ図形を考えることができるのです．たとえば，２ｎ＋１個の尖点と円弧をもち，図形全体が内接している円に直交している星状領域（面積：Ｓn）を考えます．

　θ＝π／（２ｎ＋１）として，中心が（ｒ，ｄ）の半径ｄの円弧では

　ｄ＝ｒ（１＋ｃｏｓθ）／ｓｉｎθ

と計算され，そして，半径ｒの円の直径上に長さ１の線分がおけるものとすると，

　　√（ｘ^2＋ｙ^2）＝１−ｒ

ですから

　　ｘ＝（１−ｒ）ｃｏｓθ

　　ｙ＝（１−ｒ）ｓｉｎθ

　　Ｓ1＝１／２ｒ^2ｔａｎθ−１／２ｒ^2θ

　　Ｓ2＝１／２（ｒ−ｘ）（ｄ−ｒｔａｎθ）

　　Ｓ3＝１／２ｄ^2ａｒｃｔａｎ（ｒ−ｘ）／（ｄ−ｙ）−Ｓ1−Ｓ2

として星状領域の面積は

　　Ｓn＝πｒ^2−２（２ｎ＋１）Ｓ3

　ここで，ｒは２次方程式

　　（４＋４ｃｏｓθ）ｒ^2−（４＋４ｃｏｓθ）ｒ＋１＝０

の大きな方の実根として求められます．

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