屈折率をｎとする。水中の1点(0,-c)から出た光線が空気中へ出たときの包絡線（焦線）は何か

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　水面での入射角をα、屈折角をβとすると

　　sinα/sinβ＝ｎ

屈折光線の方程式はx-ctanα=ytanβ

βをαの関数とみてαで偏微分すると,それぞれ

ncosβdβ/dα--cosα

x-c(secα)^2=y(secβ)^2dβ/dα

これより

ｙ＝-nc(cosβ)^3/(cosα)^3

ｘ＝ｃtanα（1-(cosβ)^3/(cosα)^3）

sinβ、cosβを求め（sinβ)^2+(cosβ)^2=1に代入すると

(sinα/n）^2(y/nc)^2/3(cosα）^2=1

{(1-n^2)^1/2・ｘ}＾2/3+{y/nc}^2/3=1

アステロイド状曲線である。

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