α＝１８０−１８０/ｎ°で交わる2つの直線上で、針の両端を滑らせることによって得られる図形は針を１８０/ｎ°回転させることができる。

この図形をｎ個貼り合わせると２ｎ-1尖点図形が出来上がるが、この図形は完全に1回転させることができる。

長さ1の線分の両端点がそれぞれｘ軸、ｙ=-tanα軸上にある。ｘ切片をx0,線分の傾きを-tanθとする。

y=-tanθ(x-ｘ0)とｙ＝−tanαxの交点を求めると

(tanα-tanθ)x1=-tanθｘ0

ｘ0-ｘ1＝cosθに代入すると

ｘ0（1+tanθ/(tanα-tanθ)）＝cosθ

ｘ0（(tanα)/(tanα-tanθ)）＝cosθ

ｘ0＝cosθ(1-tanθ/tanα)→α=π/2のとき、ｘ0＝cosθ

θで偏微分すると

ｘ0’＝-sinθ(1-tanθ/tanα)-cosθ(secθ)^2/tanα→α=π/2のとき、ｘ0'＝-sinθ

線分の方程式は

Y=-tanθ(X-x0)

θで偏微分すると

0＝(X-x0)(secθ）^2-tanθｘ0’

(X-x0)(secθ）^2=tanθｘ0’

(X-x0)＝(cosθ）^2tanθｘ0’→ α=π/2のとき、X=(cosθ）^3

Y=-tanθ(X-x0)=-tanθ(cosθ）^2tanθｘ0’→ α=π/2のとき、Y=(sinθ）^3

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tanα=Y/X

tanα/2=Y/X

を満たすθを求める。

　　Ｓ＝∫ｙｄｘ＝∫ｙｘ’ｄθ

　　Ｓ＝∫ｘｄｙ＝∫ｘｙ’ｄθ

　　Ｓ＝1/2∫（ｙｄｘ-ｘｄｙ）＝1/2∫（ｙｘ’-ｘｙ’）ｄθ

tanα=Y/X→S1

tanα/2=Y/X→Ｓ2

とすると星状図形の面積は

4Ｓ2+２（ｎ-２）Ｓ1

で与えられる。

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X＝(cosθ）^2tanθｘ0’+x0

Y=-tanθ(X-x0)=-tanθ(cosθ）^2tanθｘ0’

X/Y=-1/tanθ-x0/(sinθ）^2ｘ0’

ｘ0’＝-sinθ(1-tanθ/tanα)-cosθ(secθ)^2/tanα

ｘ0＝cosθ(1-tanθ/tanα)

x0'/x0=-tanθ-(secθ)^2/(tanα-tanθ)

解析的な計算は困難で、数値計算で求めるしかないようだ

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