長さ1の線分の両端点がそれぞれｘ軸、ｙ軸上にあるとき、その包絡線を求める。

線分の方程式は

x/cosθ+y/sinθ=1

包絡線を求めるにはまずθで偏微分して

x・sinθ/(cosθ)^2-y・cosθ/(sinθ)^2=0

連立方程式を解くと、xについて

　　x=(cosθ)^3

yについて、

　　y=(sinθ)^3

これはアステロイドである。以下の場合はどうだろう。

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α＝１８０−１８０/ｎ°で交わる2つの直線上で、針の両端を滑らせることによって得られる図形は針を１８０/ｎ°回転させることができる。

この図形をｎ個貼り合わせると２ｎ-1尖点図形が出来上がるが、この図形は完全に1回転させることができる。

長さ1の線分の両端点がそれぞれｘ軸、ｙ=tanα軸上にある。線分の傾きをtanθとする。

ｘ0＝-cosθ+z0cosα=-cosθ+sinθcotα

ｙ0=sinθ＝ｚ0sinα

θで偏微分すると

ｘ0’＝sinθ+cosθcotα

ｙ0’=cosθ

線分の方程式は

Y=tanθ(X-x0)

θで偏微分すると

0＝(X-x0)(secθ）^2-tanθｘ0’

(X-x0)(secθ）^2=tanθｘ0’

(X-x0)＝(cosθ）^2tanθｘ0’

Y=tanθ(X-x0)=tanθ(cosθ）^2tanθｘ0’

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