■コペルニクスの逆定理(その27)

 星状領域の面積は、n→∞のとき

   πR^2

これは長さ2Rの線分の中点を中心とする円の面積に等しい。

したがって、掛谷の問題で考えた星状領域のようなメリットはないことになる。

 また、星状領域を取り囲む円の面積は

  π(2R-r)^2

であるから、n→∞のとき,

  πR^2/π(2R-r)^2→1/4

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【1】2n-1尖点ペリトロコイドの面積

 2n-1個の尖点をもつペリトロコイドは,パラメータθを用いて

  x=(n−1)rcosθ+nrcos(1−1/n)θ

  y=(n−1)rsinθ−nrsin(1−1/n)θ

 θ(0、2nπ)

と記述されます.

θで微分すると

  x’=−(n−1)rsinθ−(n−1)rsin(1−1/n)θ

  y’=(n−1)rcosθ−(n−1)rcos(1−1/n)θ

 ここで注意しなければならないことは,θは極座標(r,θ)のパラメータではないことです.そのため,

  S=1/2∫r^2dθ   r^2=x^2+y^2

として計算すると正しい値が得られません.

 計算方法はいくつか考えられるのですが,

  S=∫ydx=∫yx’dθ

  S=∫xdy=∫xy’dθ

  S=1/2∫(ydx-xdy)=1/2∫(yx’-xy’)dθ

その結果,ペリトロコイドの面積は

  S=n(n−1)・πr^2

で表されることが計算されます.回転円の半径をR(=nr)とした場合は,

  S=n(n−1)/n^2・πR^2

となります.

 デルトイドの場合はn=2,R=2rですから

  S=2πr^2

となって固定円の面積の2倍に等しくなります.また,n→∞のとき

  S→πR^2

となって回転円の面積に近づきます.

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