【１】ハイポトロコイド

　１つの円（転円：半径ｂ）が他の固定した円（定円：半径ａ）に内接しながら滑ることなく転がるとき（ｂ＜ａ），転円に固定した点で転円の内部または外部にある点の描く軌跡をハイポトロコイドという．

　転円の中心から固定点までの距離をｃとおくと，この方程式は

　　ｘ＝（ａ−ｂ）ｃｏｓθ＋ｃｃｏｓ｛（ａ−ｂ）θ／ｂ｝

　　ｙ＝（ａ−ｂ）ｓｉｎθ−ｃｓｉｎ｛（ａ−ｂ）θ／ｂ｝

と求められる．ｃ＝０（中心上）のとき円，ｃ＝ｂ（周上）のときハイポサイクロイドになる．アステロイドはｃ＝ｂ＝ａ／４のハイポサイクロイドである．

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【２】エピトロコイド

　転円が定円に外接するとき，転円に固定した点で転円の内部または外部にある点の描く軌跡をエピトロコイドという．

　　ｘ＝（ａ＋ｂ）ｃｏｓθ−ｃｃｏｓ｛（ａ＋ｂ）θ／ｂ｝

　　ｙ＝（ａ＋ｂ）ｓｉｎθ−ｃｓｉｎ｛（ａ＋ｂ）θ／ｂ｝

ｃ＝０（中心上）のとき円，ｃ＝ｂ（周上）のときエピサイクロイドになる．カージオイドはｃ＝ｂ＝ａのエピサイクロイドである．

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