ｘ＝ｒ1ｃｏｓω1ｔ＋ｒ2ｃｏｓω2ｔ

　　ｙ＝ｒ1ｓｉｎω1ｔ＋ｒ2ｓｉｎω2ｔ

は，ω2＝−ω1のとき楕円を描きますが，

　　ω1／ω2＝ｋ，ｒ2／ｒ1＝｜ｋ｜

という比をもつとき，ｋサイクロイドを描くことになります．

　ｋが無理数のときは代数的ではなく，半径がｒ1＋ｒ2，｜ｒ1−ｒ2｜の２つの円で囲まれた環状領域を埋めつくします．ｋが有理数のときは周期的となり，サイクロイドは代数曲線であることが証明されています．たとえば，アステロイドとネフロイドは６次曲線，カージオイドとデルトイドは４次曲線です．　

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【１】トロコイド曲線の符号

　回転子が原点を中心とする円周上を公転角α（反時計回り）で動き，中心の周りを自転角β（反時計回り）で回転する場合，

　　ｘ0＝ａｃｏｓα，ｙ0＝ａｓｉｎα

　　［ｘ］＝［ｃｏｓβ，−ｓｉｎβ］［ｂ］＋［ｘ0］

　　［ｙ］　［ｓｉｎβ，　ｃｏｓβ］［０］＋［ｙ0］

より

　　ｘ＝ａｃｏｓα＋ｂｃｏｓβ

　　ｙ＝ａｓｉｎα＋ｂｓｉｎβ

が得られます．

もし，回転子の位相がπずれているならば，β→β＋πですから

　　ｘ＝ａｃｏｓα＋ｂｃｏｓ（β＋π）＝ａｃｏｓα−ｂｃｏｓβ

　　ｙ＝ａｓｉｎα＋ｂｓｉｎ（β＋π）＝ａｓｉｎα−ｂｓｉｎβ

このことはｂ→−ｂとしても同じです

　エピサイクロイドでは、回転子の位相がπずれていて

　　ｘ＝（ｎ＋１）ｒｃｏｓθ−ｒｃｏｓ（ｎ＋１）θ

　　ｙ＝（ｎ＋１）ｒｓｉｎθ−ｒｓｉｎ（ｎ＋１）θ

で与えられます．

回転円の中心はａ＝ｎ＋１、ｂ＝１の円周上を動くというわけです

．

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　また，公転と自転の向きを逆方向にとる，すなわち，回転子が原点を中心とする円周上を公転角α（反時計回り）で動き，中心の周りを自転角β（時計回り）で回転する場合，

　　ｘ0＝ａｃｏｓα，ｙ0＝ａｓｉｎα

　　［ｘ］＝［ｃｏｓ（−β），−ｓｉｎ（−β）］［ｂ］＋［ｘ0］

　　［ｙ］　［ｓｉｎ（−β），　ｃｏｓ（−β）］［０］＋［ｙ0］

より

　　ｘ＝ａｃｏｓα＋ｂｃｏｓβ

　　ｙ＝ａｓｉｎα−ｂｓｉｎβ

もし，回転子の位相がπずれているならば，

　　ｘ＝ａｃｏｓα−ｂｃｏｓβ

　　ｙ＝ａｓｉｎα＋ｂｓｉｎβ

　ｎ個の尖点をもつハイポサイクロイドでは、回転子の位相がπずれていないので

　　ｘ＝（ｎ−１）ｒｃｏｓθ＋ｒｃｏｓ（ｎ−１）θ

　　ｙ＝（ｎ−１）ｒｓｉｎθ−ｒｓｉｎ（ｎ−１）θ

回転円の中心はａ＝ｎー１、ｂ＝１の円周上を動くというわけです

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