ｘ＝ｒ1ｃｏｓω1ｔ＋ｒ2ｃｏｓω2ｔ

　　ｙ＝ｒ1ｓｉｎω1ｔ＋ｒ2ｓｉｎω2ｔ

は，ω2＝−ω1のとき楕円を描きますが，

　　ω1／ω2＝ｋ，ｒ2／ｒ1＝｜ｋ｜

という比をもつとき，ｋサイクロイドを描くことになります．

　ｋが無理数のときは代数的ではなく，半径がｒ1＋ｒ2，｜ｒ1−ｒ2｜の２つの円で囲まれた環状領域を埋めつくします．ｋが有理数のときは周期的となり，サイクロイドは代数曲線であることが証明されています．たとえば，アステロイドとネフロイドは６次曲線，カージオイドとデルトイドは４次曲線です．　

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【１】トロコイド曲線の符号

　回転子が原点を中心とする円周上を公転角α（反時計回り）で動き，中心の周りを自転角β（反時計回り）で回転する場合，

　　ｘ0＝ａｃｏｓα，ｙ0＝ａｓｉｎα

　　［ｘ］＝［ｃｏｓβ，−ｓｉｎβ］［ｂ］＋［ｘ0］

　　［ｙ］　［ｓｉｎβ，　ｃｏｓβ］［０］＋［ｙ0］

より

　　ｘ＝ａｃｏｓα＋ｂｃｏｓβ

　　ｙ＝ａｓｉｎα＋ｂｓｉｎβ

が得られます．

もし，回転子の位相がπずれているならば，β→β＋πですから

　　ｘ＝ａｃｏｓα＋ｂｃｏｓ（β＋π）＝ａｃｏｓα−ｂｃｏｓβ

　　ｙ＝ａｓｉｎα＋ｂｓｉｎ（β＋π）＝ａｓｉｎα−ｂｓｉｎβ

このことはｂ→−ｂとしても同じです．

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　また，公転と自転の向きを逆方向にとる，すなわち，回転子が原点を中心とする円周上を公転角α（反時計回り）で動き，中心の周りを自転角β（時計回り）で回転する場合，

　　ｘ0＝ａｃｏｓα，ｙ0＝ａｓｉｎα

　　［ｘ］＝［ｃｏｓ（−β），−ｓｉｎ（−β）］［ｂ］＋［ｘ0］

　　［ｙ］　［ｓｉｎ（−β），　ｃｏｓ（−β）］［０］＋［ｙ0］

より

　　ｘ＝ａｃｏｓα＋ｂｃｏｓβ

　　ｙ＝ａｓｉｎα−ｂｓｉｎβ

もし，回転子の位相がπずれているならば，

　　ｘ＝ａｃｏｓα−ｂｃｏｓβ

　　ｙ＝ａｓｉｎα＋ｂｓｉｎβ

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　これで，４つの組み合わせのトロコイド曲線

　　ｘ＝ａｃｏｓα±ｂｃｏｓβ

　　ｙ＝ａｓｉｎα±ｂｓｉｎβ

が得られましたが，ｂあるいはβが負になることを許せば，いずれも

　　ｘ＝ａｃｏｓα＋ｂｃｏｓβ

　　ｙ＝ａｓｉｎα＋ｂｓｉｎβ

と書くことができます

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