半径Ｒ＝３ｒの円の円周上を半径ｒの円が滑らずに転がるとき，円上の固定点Ｐの最初の位置を（Ｒ，０）にとると，θだけ回転したときの点Ｐの座標は

　　ｘ＝２ｒｃｏｓθ＋ｒｃｏｓ２θ

　　ｙ＝２ｒｓｉｎθ−ｒｓｉｎ２θ

で与えられます．この軌跡がデルトイドで，デルトイドは３つの尖点をもつ図形です．

　なお，ｎ個の尖点をもつハイポサイクロイド

　　ｘ＝（ｎ−１）ｒｃｏｓθ＋ｒｃｏｓ（ｎ−１）θ

　　ｙ＝（ｎ−１）ｒｓｉｎθ−ｒｓｉｎ（ｎ−１）θ

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　「コペルニクスの２円定理」により，半径２ｒの円が半径Ｒ＝３ｒの円の内側を転がるとき，円上の固定された直径の描く包絡線はデルトイドになるわけですが，デルトイドの場合，この直径の両端も同じデルトイド上にあります．

[１]固定された大円（半径Ｒ）の内部に半径がｒ＝２Ｒ／３の中円が入っているとする．中円が大きい円に内接し滑ることなく大きい円に沿って回転すると，動円上の定点はどのような軌跡を描くか？

（その２）の図ではデルトイドを描くように見えるが、中円が大きい円に内接し滑ることなく大きい円に沿って回転していることになる。

　また、これにより「デルトイドの接線が曲線に挟まれる部分の長さは一定である」という性質が生じます．これはデルトイドでは長さ４ｒの棒をデルトイドに接しながら１回転することができるというのと同一です．

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　デルトイドについて，これまで同じ曲線を描くために異なる定義があるのをみてきましたが，他のハイポサイクロイド，エピサイクロイドについてもみてみましょう．すると

(1)半径３ｒの円が半径Ｒ＝４ｒの円の内側を転がるとき，円上の固定された正三角形の頂点の描く軌跡はアステロイドになる．

(2)半径３ｒの円が半径Ｒ＝２ｒの円の外側を転がるとき，円上の固定された正三角形の頂点の描く軌跡はネフロイドになる．

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