ｒ＝０，１，２，３，４，５，６，７　　（mod８）

を考える。

このときｒ^2＝０，１，４より、

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2≠８ｍ＋７

さらに４のベキをかけたとき、

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2≠４^k（８ｍ＋７）

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　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｍｔ^2 (m=1,2,3,4,5,6,7)

はすべての正整数を表すことができる

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(証)まず、表現されない最小の数は８ｋ＋７の形でなければならない

それからｍｔ^2を引く。ｔ＝１，１，２，１，１，１，２とすると、それぞれ、

8ｋ+6/8ｋ+5/8k+3/8ｋ+3/8ｋ+2/8k+1/8k+3となるが、これらはすべてｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2の形に表現される。

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　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｍｗ^2　　　（ｍ＝１，２，３，４，５，６，７）

はすべての正の整数を表現することができる

　（１，１，１，１），（１，１，１，２），（１，１，１，３）

　（１，１，１，４），（１，１，１，５），（１，１，１，６）

　（１，１，１，７）

はラマヌジャンのリストに収められている．

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