ｒ＝０，１，２，３，４，５，６，７　　（mod８）

を考える。

このときｒ^2＝０，１，４より、

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2≠８ｍ＋７

さらに４のベキをかけたとき、

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2≠４^k（８ｍ＋７）

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4つの正の平方数の和として表すことができない整数をすべて上げると

1,3,5,9,17,29,41,2・4^m,.6・4^m,14・4^m

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　まず、49よりも大きく、８の倍数でない任意の整数は4つの正の平方数の和として表すことができることを示す。

８ｋ＋２の形の数から２^2を引くと８ｋ＋６の形の数を得る

８ｋ＋３の形の数から４^2を引くと８ｋ＋３の形の数を得る

８ｋ＋４の形の数から１^2を引くと８ｋ＋３の形の数を得る

８ｋ＋６の形の数から４^2を引くと８ｋ＋６の形の数を得る

８ｋ＋７の形の数から２^2を引くと８ｋ＋３の形の数を得る

８ｋ＋１の形の数から１^2、３^2、５^2、７^2を引くと３２ｋ＋２４の形の数を得る

８ｋ＋５の形の数から１^2、３^2、５^2、７^2を引くと３２ｋ＋１２の形の数を得る

次に４９までの数について確認すると、８ｋの形をした数が4つの正の平方数の和として表すことができるのは、

２ｋがそのようになっているときに限られることを示す。

４つの平方数のなかの１/２/３個が奇数ならば、その和は4ｋ+1/4ｋ+2/4ｋ+3の形をしている。

４つの平方数のすべてが奇数ならば、その和は8ｋ+4の形をしている。

したがって８ｋの形をした数が4つの正の平方数の和として表すことができるならば、その4つの平方数はすべて偶数でなければならない

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