【１】ｐ進整数

　ｐ進整数ｘをｐのそれぞれのベキｐ^nについて、１個ずつ存在する互いに矛盾しない合同式

　　ｘ＝an (mod p^n)

の形式的な解として定義する。

互いに矛盾しないとは、例えば、

ｘ＝1 (mod 3)

ｘ＝7 (mod 9)

ｘ＝-2 (mod 27)

のように共通の解x=25をもつことを意味する。

このように定義したｐ進整数同士

　　ｘ＝an (mod p^n)

　　ｘ＝ｂn (mod p^n)

は環をなす。すなわち

　　ｘ＝an＋ｂn (mod p^n)

　　ｘ＝an-ｂn (mod p^n)

　　ｘ＝anｂn (mod p^n)

はｐ進整数である

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　有理数1/3は2進整数でもあるし、5進整数でもある。これを確かめるにはつぎのような数列{an}を考えればよい

　　7,67,667,6667,6667,・・・

この数列の各項に３をかければ

　　21,201,2001,20001,200001,・・・

これらはそれぞれ2^1,2^2,2^3,2^4,・・・を法として1に合同である。

また、これらはそれぞれ5^1,5^2,5^3,5^4,・・・を法として1に合同である。

よって,p=2,5に対して

　　ｘ＝an (mod p^n)ni

で定義されるｐ進整数は３ｘ＝１を満たす。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　有理数2/3は5進整数でもあるし、10進整数でもある。これを確かめるにはつぎのような数列{an}を考えればよい

　　4,34,334,3334,33334,・・・

この数列の各項に３をかければ

　　12,102,1002,10002,100002,・・・

これらはそれぞれ5^1,5^2,5^3,5^4,・・・を法として2に合同である。

また、これらはそれぞれ10^1,10^2,10^3,10^4,・・・を法として2に合同である。

よって,p=5,10に対して

　　ｘ＝an (mod p^n)ni

で定義されるｐ進整数は３ｘ＝２を満たす。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝