ユークリッド整域は，ある数体系内で，除法

　　α＝β・γ＋δ，｜δ｜＜｜β｜

は可能かという問題です．（それに対して，単項イデアル整域（ＰＩＤ）は素因数分解の一意性が成り立つかどうかという問題です．）

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【１】複素数の場合

　Ｚ（（−１＋√−ｄ）／２）は複素平面内で斜交格子を形成する．その菱形の４頂点は（０，√−ｄ，（１＋√−ｄ）／２，（−１＋√−ｄ）／２）

　β^-1αに最も近いＺ（√−ｄ）整数γが１未満にあるためには，

　　ｌ^2＝（√ｄ／２−ｌ）^2＋（１／２）^2

　　−ｌ√ｄ＋（ｄ＋１）／４＝０

　　ｌ＝（ｄ＋１）／４√ｄ

　　ｄ＝３のとき，１／√３＜１（ユークリッド整域）アイゼンシュタイン整数環（正三角形格子）

　　ｄ＝７のとき，２／√７＜１（ユークリッド整域）

　　ｄ＝１１のとき，３／√１１＜１（ユークリッド整域）

［１］整数では一意分解定理が成立する．これは任意の整数ｎをｄで割ったときの余りの絶対値をｄより小さくとることができることに負っている．

　　｜ｒ｜≦１／２・｜ｄ｜

［２］ガウス整数でも一意分解定理が成立する．

　　｜ｒ｜≦１／√２・｜ｄ｜

アイセンシュタイン整数でも一意分解定理が成立する．

　　｜ｒ｜≦１／√３・｜ｄ｜

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　一方，

［３］一意分解性をもつ虚２次体は９つのみ．この答えは既に知られていて，次の９つの虚２次体Ｑ（√ｄ）

　　−ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３

に限られる．

　　−ｄ＝１９，４３，６７，１６３

は単項イデアル整域（ＰＩＤ）であるが，ユークリッド整域（ＥＤ）ではない．

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a,bを整数として、整数環｛a+bθ｝を考える場合、

ガウスの整数環θ=i

アイゼンシュタインの整数環θ=(-1+√-3)/2

他に

　　θ=√-2,√-5,(-1+√-7)/2,(-1+√-11)/2,(1+√5)/2

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