［Ｑ］ｘ0＝ｍ，ｍは２より大きい整数とする．このとき

　　　ｘn＝（ｘn-1）^2−２,

の一般項を求めよ．

［Ａ］α＋１／α＝ｍ，α＞１とすると，帰納法より

　　ｘn＝α^(2^n)＋α^-(2^n)

　これはｘn＝［α^(2^n)］と等価である．

　たとえば，ｍ＝３のとき，

　　α＋１／α＝３

　　α^2−３α＋１＝０，α＝（３＋√５）／２＝φ^2

　　ｘn＝［φ^(2^n+1)］

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［Ｑ］ｙ0＝ｍ，ｍは正の整数とする．このとき

　　　ｙn＝２（ｙn-1）^2−１

の一般項を求めよ．

［Ａ］２ｙn＝（２ｙn-1）^2−２，２ｙ0＝２ｍ

　　α＋１／α＝２ｍ，α＞１とすると，帰納法より

　　２ｙn＝α^(2^n)＋α^-(2^n)

　これはｙn＝［α^(2^n)／２］と等価である．

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　ここでは，

　　ｇn+1＝（ｇn）^2−２，ｇ0＝４

を考えるが，この場合，

　　ω1＝２＋√３，ω2＝２−√３

となって，２重指数型公式

　　ｇn＝ω1^(2^n)＋ω2^(2^n)

が得られる．

　帰納法により

［１］ｎ＝０，ｇ0＝ω1＋ω2＝４

［２］ｇn＝ω1^(2^n)＋ω2^(2^n)が正しいとすると，

　（ｇn）^2−２＝（ω1^(2^n)＋ω2^(2^n)）^2−２

＝ω1^(2^n+1)＋ω2^(2^n+1)＋２（ω1ω2）^(2^n)−２

＝ω1^(2^n+1)＋ω2^(2^n+1)＝ｇn+1

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［Ｑ］ｘ0＝ｍ，ｍは２より大きい整数とする．このとき

　　　ｘn＝（ｘn-1）^2−２,

の一般項を求めよ．

［Ａ］α＋１／α＝ｍ，α＞１とすると，帰納法より

　　ｘn＝α^(2^n)＋α^-(2^n)

　これはｘn＝［α^(2^n)］と等価である．

　たとえば，ｍ＝３のとき，

　　α＋１／α＝３

　　α^2−３α＋１＝０，α＝（３＋√５）／２＝φ^2

　　ｘn＝［φ^(2^n+1)］

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　α＝２のとき，ｘn＝［α^(2^n)］はフェルマー数になる．

　　α＋１／α＝５／２＝ｍ→ｍ＝５／２とすればよい．

　　α^2−５／２α＋１＝０，

　　２α^2−５α＋２＝０，（α−２）（２α−１）＝０

　ｘ0＝５／２＝２．５

　ｘn＝（ｘn-1）^2−２,

　ｘ1＝２５／４−２＝１７／４＝４．２５

　ｘ2＝２８９／１６−２＝２５７／１６＝１６．０６２５

　ｘ3＝２８９／１６−２＝６６０４９／２５６−２＝６５５３７／２５６

＝２５６．００３９

　一般に，

　　ｘn＝｛２^(2^n+1)＋１｝／２^(2^n)

となるが，これを切り上げるとフェルマー数２^(2^n)＋１となる．

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