フェルマーは

４ｋ＋１型素数は2つの平方和によって、しかも一いに表すことができることを証明した。

この結果を幾何学的に解釈すると、p=1（mod４）のとき

原点を中心とする半径√ｐの円を描くと、円周上には8個の格子点が存在することを意味している。

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　p=-1（mod４）のとき、解は存在しない。

　ｎが合成数の場合は、2とp=1（mod４）とｑ=-1（mod４）を区別しなければならない。

　　ｎ＝2^αΠｐ^βΠｑ^γ

すべてのγが偶数のとき、ｘ^2＋ｙ^2＝ｎに対する解が存在する。

このとき（ｘ、ｙ）＝１なる原始解の個数は順列を含め、

　　Π（β＋1）

である。

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例:３２５＝５＾2・１３＝１^2＋１８^2=６^2＋１７^2＝１０^2＋１５^2

＝１８^2＋１^2=１７^2＋６^2＝１５^2＋１９^2

の６つの解をもつ。

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