部分分子がすべて1、部分分母が正の整数である標準連分数は収束する。その近似分数列は振動しつつ交互に上下から収束する。

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たとえば

[0:1,1,1,1,1,1,1,2,・・・}

[0:1,1,1,1,1,1,2,1,・・・}

[0:1,1,1,1,1,2,1,1,・・・}

[0:1,1,1,1,2,1,1,1,・・・}

[0:1,1,1,2,1,1,1,1,・・・}

[0:1,1,2,1,1,1,1,1,・・・}

[0:1,2,1,1,1,1,1,1,・・・}

[0:2,1,1,1,1,1,1,1,・・・}

と

[0:1,1,1,1,1,1,1,1,・・・}

をおおきさの順にならべると

[0:1,2,1,1,1,1,1,1,・・・}

[0:1,1,1,2,1,1,1,1,・・・}

[0:1,1,1,1,1,2,1,1,・・・}

[0:1,1,1,1,1,1,1,2,・・・}

[0:1,1,1,1,1,1,1,1,・・・}

[0:1,1,1,1,1,1,2,1,・・・}

[0:1,1,1,1,2,1,1,1,・・・}

[0:1,1,2,1,1,1,1,1,・・・}

[0:2,1,1,1,1,1,1,1,・・・}

の順番となる。

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　[0:1,1,1,1]=[0:1,1,2]

1/(1+1/(1+1/2))

=1/(1+2/3)=3/5

　[0:1,1,1]=[0:1,2]

=1/(1+1/2)=2/3

したがって、

　[0:1,1,1,2,・・・]=(2τ+3）/（3τ＋5）

(aτ+b）/（cτ＋d）の係数a,b,c,dがフィボナッチ数列になっている。

ad-bc=(-1)^nは

Ｆn^2−Ｆn-1Ｆn+1＝（−１）^n

　　　Ｆn^2−Ｆn-rＦn+r＝（−Ｆr）^n

は，４ピースからなる８×８の正方形を並べ替えると５×１３の長方形になるという有名なパラドックスのタネである．

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　[0:1,1,1,1,1]=[0:1,1,1,2]

1/(1+1/(1+1/(1+1/2))

=1/(1+1/(1+2/3))

=1/(1+3/5)

=5/8

　[0:1,1,1,1]=[0:1,1,2]

1/(1+1/(1+1/2))

=1/(1+2/3)=3/5

したがって、

　[0:1,1,1,1,2,・・・]=(3τ+5）/（5τ＋8)

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